Номер 8.39, страница 64, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

8.39. Докажите, что функция $ y = \begin{cases} x^4 - 2x^2 + \frac{17}{x+2} & \text{при } x < 0 \text{ и } x \ne -2; \\ 2x^2 - x^4 + \frac{17}{x-2} & \text{при } x > 0 \text{ и } x \ne 2 \end{cases} $ — нечётная.

Для того чтобы доказать, что функция $y(x)$ является нечётной, необходимо проверить выполнение двух условий:

1. Область определения функции, $D(y)$, должна быть симметричной относительно начала координат. Это означает, что если $x \in D(y)$, то и $-x \in D(y)$.

2. Для любого $x$ из области определения должно выполняться равенство $y(-x) = -y(x)$.

1. Проверка симметричности области определения

Область определения функции задаётся условиями: $x < 0$ и $x \neq -2$, а также $x > 0$ и $x \neq 2$. Таким образом, функция не определена в точках $x = -2$, $x = 0$ и $x = 2$.

Область определения $D(y)$ можно записать как объединение интервалов: $D(y) = (-\infty, -2) \cup (-2, 0) \cup (0, 2) \cup (2, +\infty)$.

Эта область является симметричной относительно нуля. Если взять любое число $x$ из $D(y)$, то противоположное ему число $-x$ также будет принадлежать $D(y)$. Следовательно, первое условие выполняется.

2. Проверка выполнения равенства $y(-x) = -y(x)$

Рассмотрим два случая в зависимости от знака $x$.

Случай 1: Пусть $x > 0$ и $x \neq 2$.

В этом случае $-x < 0$ и $-x \neq -2$. Для нахождения $y(x)$ используем вторую строку в определении функции, а для нахождения $y(-x)$ — первую.

$y(x) = 2x^2 - x^4 + \frac{17}{x-2}$

Найдём $y(-x)$, подставив $-x$ в первое выражение:

$y(-x) = (-x)^4 - 2(-x)^2 + \frac{17}{(-x)+2} = x^4 - 2x^2 + \frac{17}{2-x} = x^4 - 2x^2 - \frac{17}{x-2}$

Теперь найдём выражение для $-y(x)$:

$-y(x) = -(2x^2 - x^4 + \frac{17}{x-2}) = -2x^2 + x^4 - \frac{17}{x-2} = x^4 - 2x^2 - \frac{17}{x-2}$

Сравнивая полученные выражения, видим, что $y(-x) = -y(x)$.

Случай 2: Пусть $x < 0$ и $x \neq -2$.

В этом случае $-x > 0$ и $-x \neq 2$. Для нахождения $y(x)$ используем первую строку в определении функции, а для нахождения $y(-x)$ — вторую.

$y(x) = x^4 - 2x^2 + \frac{17}{x+2}$

Найдём $y(-x)$, подставив $-x$ во второе выражение:

$y(-x) = 2(-x)^2 - (-x)^4 + \frac{17}{(-x)-2} = 2x^2 - x^4 + \frac{17}{-(x+2)} = 2x^2 - x^4 - \frac{17}{x+2}$

Теперь найдём выражение для $-y(x)$:

$-y(x) = -(x^4 - 2x^2 + \frac{17}{x+2}) = -x^4 + 2x^2 - \frac{17}{x+2} = 2x^2 - x^4 - \frac{17}{x+2}$

Сравнивая полученные выражения, снова видим, что $y(-x) = -y(x)$.

Поскольку оба условия нечётности функции выполняются для всех $x$ из области определения, данная функция является нечётной.

Ответ: Доказано, что функция является нечётной.