Номер 8.37, страница 64, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

8.37. Найдите область определения функции и исследуйте её на чётность и нечётность:

а) $y = \frac{x^2}{1+x} + \frac{x^2}{1-x};$

б) $y = \sqrt{x^2 + 2x - 3} + \sqrt{x^2 - 2x - 3};$

в) $y = \frac{x^2}{1+x} - \frac{x^2}{1-x};$

г) $y = \sqrt{x^2 + 2x - 3} - \sqrt{x^2 - 2x - 3}.$

Рассмотрим функцию $y = \frac{x^2}{1+x} + \frac{x^2}{1-x}$.

Найдём область определения функции.
Функция определена, если знаменатели дробей не равны нулю. Это приводит к системе условий:
$1+x \neq 0 \Rightarrow x \neq -1$
$1-x \neq 0 \Rightarrow x \neq 1$
Следовательно, область определения функции $D(y)$ — это все действительные числа, кроме $x = -1$ и $x = 1$.
$D(y) = (-\infty; -1) \cup (-1; 1) \cup (1; +\infty)$.

Исследуем функцию на чётность и нечётность.
Область определения $D(y)$ симметрична относительно начала координат (если $x \in D(y)$, то и $-x \in D(y)$). Найдём значение функции в точке $-x$:
$y(-x) = \frac{(-x)^2}{1+(-x)} + \frac{(-x)^2}{1-(-x)} = \frac{x^2}{1-x} + \frac{x^2}{1+x}$.
Сравнивая с исходной функцией, видим, что $y(-x) = y(x)$. Следовательно, функция является чётной.
Можно также привести функцию к общему знаменателю:
$y = \frac{x^2(1-x) + x^2(1+x)}{(1+x)(1-x)} = \frac{x^2 - x^3 + x^2 + x^3}{1-x^2} = \frac{2x^2}{1-x^2}$.
Для этого вида $y(-x) = \frac{2(-x)^2}{1-(-x)^2} = \frac{2x^2}{1-x^2} = y(x)$, что подтверждает чётность.

Ответ: область определения $x \in (-\infty; -1) \cup (-1; 1) \cup (1; +\infty)$; функция чётная.

Рассмотрим функцию $y = \sqrt{x^2 + 2x - 3} + \sqrt{x^2 - 2x - 3}$.

Найдём область определения функции.
Функция определена, если выражения под знаками квадратного корня неотрицательны. Это приводит к системе неравенств:
$\begin{cases} x^2 + 2x - 3 \ge 0 \\ x^2 - 2x - 3 \ge 0 \end{cases}$
1. Решим неравенство $x^2 + 2x - 3 \ge 0$. Корни квадратного трёхчлена $x^2 + 2x - 3 = 0$ — это $x_1 = -3$ и $x_2 = 1$. Парабола $y=x^2+2x-3$ ветвями вверх, поэтому неравенство выполняется при $x \in (-\infty; -3] \cup [1; +\infty)$.
2. Решим неравенство $x^2 - 2x - 3 \ge 0$. Корни квадратного трёхчлена $x^2 - 2x - 3 = 0$ — это $x_1 = -1$ и $x_2 = 3$. Парабола $y=x^2-2x-3$ ветвями вверх, поэтому неравенство выполняется при $x \in (-\infty; -1] \cup [3; +\infty)$.
Область определения функции — это пересечение найденных множеств: $( (-\infty; -3] \cup [1; +\infty) ) \cap ( (-\infty; -1] \cup [3; +\infty) )$.
Пересечением является множество $(-\infty; -3] \cup [3; +\infty)$.
Таким образом, $D(y) = (-\infty; -3] \cup [3; +\infty)$.

Исследуем функцию на чётность и нечётность.
Область определения $D(y)$ симметрична относительно начала координат. Найдём $y(-x)$:
$y(-x) = \sqrt{(-x)^2 + 2(-x) - 3} + \sqrt{(-x)^2 - 2(-x) - 3} = \sqrt{x^2 - 2x - 3} + \sqrt{x^2 + 2x - 3}$.
Сравнивая с исходной функцией, видим, что $y(-x) = y(x)$. Следовательно, функция является чётной.

Ответ: область определения $x \in (-\infty; -3] \cup [3; +\infty)$; функция чётная.

Рассмотрим функцию $y = \frac{x^2}{1+x} - \frac{x^2}{1-x}$.

Найдём область определения функции.
Как и в пункте а), знаменатели не должны быть равны нулю, поэтому $x \neq -1$ и $x \neq 1$.
$D(y) = (-\infty; -1) \cup (-1; 1) \cup (1; +\infty)$.

Исследуем функцию на чётность и нечётность.
Область определения $D(y)$ симметрична относительно начала координат. Найдём $y(-x)$:
$y(-x) = \frac{(-x)^2}{1+(-x)} - \frac{(-x)^2}{1-(-x)} = \frac{x^2}{1-x} - \frac{x^2}{1+x} = -(\frac{x^2}{1+x} - \frac{x^2}{1-x}) = -y(x)$.
Так как $y(-x) = -y(x)$, функция является нечётной.
Можно также привести функцию к общему знаменателю:
$y = \frac{x^2(1-x) - x^2(1+x)}{(1+x)(1-x)} = \frac{x^2 - x^3 - x^2 - x^3}{1-x^2} = \frac{-2x^3}{1-x^2}$.
Для этого вида $y(-x) = \frac{-2(-x)^3}{1-(-x)^2} = \frac{2x^3}{1-x^2} = -y(x)$, что подтверждает нечётность.

Ответ: область определения $x \in (-\infty; -1) \cup (-1; 1) \cup (1; +\infty)$; функция нечётная.

Рассмотрим функцию $y = \sqrt{x^2 + 2x - 3} - \sqrt{x^2 - 2x - 3}$.

Найдём область определения функции.
Как и в пункте б), выражения под корнями должны быть неотрицательны:
$\begin{cases} x^2 + 2x - 3 \ge 0 \\ x^2 - 2x - 3 \ge 0 \end{cases}$
Решением системы является множество $D(y) = (-\infty; -3] \cup [3; +\infty)$.

Исследуем функцию на чётность и нечётность.
Область определения $D(y)$ симметрична относительно начала координат. Найдём $y(-x)$:
$y(-x) = \sqrt{(-x)^2 + 2(-x) - 3} - \sqrt{(-x)^2 - 2(-x) - 3} = \sqrt{x^2 - 2x - 3} - \sqrt{x^2 + 2x - 3}$.
$y(-x) = -(\sqrt{x^2 + 2x - 3} - \sqrt{x^2 - 2x - 3}) = -y(x)$.
Так как $y(-x) = -y(x)$, функция является нечётной.

Ответ: область определения $x \in (-\infty; -3] \cup [3; +\infty)$; функция нечётная.