Номер 8.30, страница 61, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

8.30. Найдите наименьшее значение функции:

а) $y = |x| + |x - 2|;$

б) $y = |x - 1| + |x - 3| + |x - 5|;$

в) $y = |x| + |x - 2| + |x - 4|;$

г) $y = |x| + |x - 1| + \ldots + |x - n|, n \in N.$

а) Функция $y = |x| + |x - 2|$ представляет собой сумму расстояний от точки $x$ на числовой прямой до точек $0$ и $2$. Эта сумма достигает своего наименьшего значения, когда точка $x$ находится между точками $0$ и $2$, то есть при $x \in [0, 2]$. На этом отрезке значение функции постоянно и равно расстоянию между точками $0$ и $2$, то есть $|2-0|=2$. Например, если раскрыть модули для $x \in [0, 2]$, получим $y = x - (x-2) = x - x + 2 = 2$.
Ответ: 2

б) Функция $y = |x - 1| + |x - 3| + |x - 5|$ — это сумма расстояний от точки $x$ до точек $1, 3, 5$. Так как количество точек нечетное (равно 3), наименьшее значение достигается, когда $x$ совпадает с медианой — средней точкой $3$. Подставим $x=3$ в функцию: $y(3) = |3 - 1| + |3 - 3| + |3 - 5| = |2| + |0| + |-2| = 2 + 0 + 2 = 4$.
Ответ: 4

в) Функция $y = |x| + |x - 2| + |x - 4|$ — это сумма расстояний от точки $x$ до точек $0, 2, 4$. Количество точек нечетное (равно 3), поэтому наименьшее значение достигается в медианной точке $x=2$. Подставим $x=2$ в функцию: $y(2) = |2| + |2 - 2| + |2 - 4| = 2 + 0 + |-2| = 2 + 0 + 2 = 4$.
Ответ: 4

г) Функция $y = |x| + |x - 1| + \dots + |x - n|$ является суммой расстояний от точки $x$ до $n+1$ точки: $0, 1, \dots, n$. Наименьшее значение функции достигается в медиане этого набора точек. Решение зависит от четности $n$.
Случай 1: $n$ — четное.
Пусть $n=2m$, где $m \in \mathbb{N}$. Количество точек $n+1=2m+1$ нечетное. Минимум достигается в медиане, которая является средней точкой $x=m=n/2$. Значение функции в этой точке:
$y_{min} = \sum_{k=0}^{2m} |m-k| = (|m-0| + \dots + |m-(m-1)|) + |m-m| + (|m-(m+1)| + \dots + |m-2m|)$
$y_{min} = (m + (m-1) + \dots + 1) + 0 + (1 + 2 + \dots + m) = 2 \sum_{k=1}^{m} k = 2 \cdot \frac{m(m+1)}{2} = m(m+1)$.
Подставляя $m=n/2$, получаем $y_{min} = \frac{n}{2}\left(\frac{n}{2}+1\right) = \frac{n(n+2)}{4}$.
Случай 2: $n$ — нечетное.
Пусть $n=2m-1$, где $m \in \mathbb{N}$. Количество точек $n+1=2m$ четное. Минимум достигается для любого $x$ из отрезка между двумя центральными точками $[m-1, m]$. Значение функции на этом отрезке постоянно. Вычислим его при $x=m-1$:
$y_{min} = \sum_{k=0}^{2m-1} |(m-1)-k| = \sum_{j=0}^{m-1} j + \sum_{j=1}^{m} j = \frac{(m-1)m}{2} + \frac{m(m+1)}{2} = \frac{m^2-m+m^2+m}{2} = m^2$.
Подставляя $m=(n+1)/2$, получаем $y_{min} = \left(\frac{n+1}{2}\right)^2 = \frac{(n+1)^2}{4}$.
Ответ: если $n$ — четное, наименьшее значение равно $\frac{n(n+2)}{4}$; если $n$ — нечетное, наименьшее значение равно $\frac{(n+1)^2}{4}$.