Номер 8.26, страница 61, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

8.26. Найдите наибольшее и/или наименьшее значение функции $y = 3x^2 - 24x - 100:$

a) на отрезке $[-1; 5];$

б) на луче $(-\infty; 0];$

в) на луче $[0; +\infty);$

г) на $\mathbb{R}.$

Заданная функция $y = 3x^2 - 24x - 100$ является квадратичной. Ее график — парабола с ветвями, направленными вверх (так как коэффициент $a=3 > 0$). Следовательно, функция имеет наименьшее значение (в вершине) и не имеет наибольшего значения на всей числовой прямой.

Найдем координаты вершины параболы. Абсцисса вершины вычисляется по формуле $x_в = -\frac{b}{2a}$:

$x_в = -\frac{-24}{2 \cdot 3} = \frac{24}{6} = 4$.

Ордината вершины (и наименьшее значение функции) находится подстановкой $x_в$ в уравнение функции:

$y_в = y(4) = 3(4)^2 - 24(4) - 100 = 3 \cdot 16 - 96 - 100 = 48 - 96 - 100 = -148$.

Вершина параболы находится в точке $(4, -148)$.

а) на отрезке [-1; 5]

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений на отрезке необходимо сравнить значения функции на его концах и в точке вершины, если она принадлежит отрезку. Абсцисса вершины $x_в = 4$ принадлежит отрезку $[-1; 5]$. Так как это точка минимума параболы, наименьшее значение на отрезке достигается именно в ней: $y_{наим} = y(4) = -148$.

Для нахождения наибольшего значения вычислим значения функции на концах отрезка:

$y(-1) = 3(-1)^2 - 24(-1) - 100 = 3 + 24 - 100 = -73$.

$y(5) = 3(5)^2 - 24(5) - 100 = 75 - 120 - 100 = -145$.

Сравнивая значения на концах ($y(-1)=-73$ и $y(5)=-145$), находим, что наибольшее значение равно -73. Таким образом, $y_{наиб} = -73$.

Ответ: наименьшее значение -148, наибольшее значение -73.

б) на луче (??; 0]

Вершина параболы $x_в = 4$ не принадлежит лучу $(-\infty; 0]$. На интервале $(-\infty; 4]$ функция монотонно убывает. Следовательно, на луче $(-\infty; 0]$ наибольшее значение достигается в его крайней правой точке, то есть при $x=0$:

$y_{наиб} = y(0) = 3(0)^2 - 24(0) - 100 = -100$.

Так как при $x \to -\infty$ значение функции $y \to +\infty$, наименьшего значения на этом луче не существует.

Ответ: наибольшее значение -100, наименьшего значения не существует.

в) на луче [0; +?)

Вершина параболы $x_в = 4$ принадлежит лучу $[0; +\infty)$. Поскольку это точка глобального минимума функции, то наименьшее значение на данном луче будет достигаться в ней:

$y_{наим} = y(4) = -148$.

Так как ветви параболы направлены вверх, при $x \to +\infty$ значение функции $y \to +\infty$. Следовательно, наибольшего значения на этом луче не существует.

Ответ: наименьшее значение -148, наибольшего значения не существует.

г) на R

На всей числовой прямой $R$ (от $-\infty$ до $+\infty$) функция, график которой — парабола с ветвями вверх, имеет наименьшее значение в своей вершине и не имеет наибольшего значения, так как она не ограничена сверху.

Наименьшее значение функции достигается при $x=4$ и равно $y_{наим} = -148$.

Ответ: наименьшее значение -148, наибольшего значения не существует.