Номер 8.19, страница 60, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

8.19. Для функций, графики которых изображены на рисунках 14–17, найдите экстремумы, а также наибольшие и наименьшие значения.

Поскольку графики функций не предоставлены, решение будет продемонстрировано на гипотетических примерах, соответствующих условию задачи.

Рисунок 14

Предположим, на рисунке 14 изображен график непрерывной функции $y=f(x)$, определенной на отрезке $[-4, 5]$. График имеет точку локального максимума $(-2, 4)$ и точку локального минимума $(1, -2)$. Значения на концах отрезка: $f(-4)=1$ и $f(5)=3$.

1. Экстремумы функции.
Экстремумы – это локальные максимумы и минимумы функции.

• Точка максимума: $x_{max} = -2$. Значение в этой точке (максимум): $y_{max} = 4$.
• Точка минимума: $x_{min} = 1$. Значение в этой точке (минимум): $y_{min} = -2$.

2. Наибольшее и наименьшее значения функции.
Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке находятся среди её экстремумов на этом отрезке и значений на его концах.

• Сравним значения в точке максимума и на концах отрезка: $f(-2)=4$, $f(-4)=1$, $f(5)=3$. Наибольшее из этих значений равно 4. Следовательно, наибольшее значение функции на отрезке $[-4, 5]$ есть $y_{наиб} = 4$.
• Сравним значения в точке минимума и на концах отрезка: $f(1)=-2$, $f(-4)=1$, $f(5)=3$. Наименьшее из этих значений равно -2. Следовательно, наименьшее значение функции на отрезке $[-4, 5]$ есть $y_{наим} = -2$.

Ответ: Экстремумы: максимум 4 (в точке $x=-2$), минимум -2 (в точке $x=1$). Наибольшее значение функции: 4. Наименьшее значение функции: -2.

Рисунок 15

Предположим, на рисунке 15 изображен график непрерывной функции $y=f(x)$, определенной на отрезке $[-3, 3]$. График имеет одну точку локального максимума $(0, 5)$ и не имеет точек локального минимума. Значения на концах отрезка: $f(-3)=-1$ и $f(3)=2$.

1. Экстремумы функции.

• Точка максимума: $x_{max} = 0$. Значение в этой точке (максимум): $y_{max} = 5$.
• Точек локального минимума на графике нет.

2. Наибольшее и наименьшее значения функции.

• Для нахождения наибольшего значения сравним значение в точке максимума и на концах отрезка: $f(0)=5$, $f(-3)=-1$, $f(3)=2$. Наибольшее значение $y_{наиб} = 5$.
• Для нахождения наименьшего значения сравним значения на концах отрезка (поскольку локальных минимумов нет): $f(-3)=-1$, $f(3)=2$. Наименьшее значение $y_{наим} = -1$.

Ответ: Экстремум: максимум 5 (в точке $x=0$). Наибольшее значение функции: 5. Наименьшее значение функции: -1.

Рисунок 16

Предположим, на рисунке 16 изображен график непрерывной функции $y=f(x)$, определенной на отрезке $[-5, 5]$. График имеет точку локального максимума $(0, 4)$ и точку локального минимума $(-3, -3)$. Значения на концах отрезка: $f(-5)=2$ и $f(5)=3$.

1. Экстремумы функции.

• Точка максимума: $x_{max} = 0$. Максимум: $y_{max} = 4$.
• Точка минимума: $x_{min} = -3$. Минимум: $y_{min} = -3$.

2. Наибольшее и наименьшее значения функции.

• Сравниваем кандидатов на наибольшее значение: локальный максимум $f(0)=4$ и значения на концах $f(-5)=2$, $f(5)=3$. Наибольшее значение $y_{наиб} = 4$.
• Сравниваем кандидатов на наименьшее значение: локальный минимум $f(-3)=-3$ и значения на концах $f(-5)=2$, $f(5)=3$. Наименьшее значение $y_{наим} = -3$.

Ответ: Экстремумы: максимум 4 (в точке $x=0$), минимум -3 (в точке $x=-3$). Наибольшее значение функции: 4. Наименьшее значение функции: -3.

Рисунок 17

Предположим, на рисунке 17 изображен график непрерывной функции $y=f(x)$, определенной на отрезке $[-6, 6]$. График имеет две точки локального максимума, $(-4, 3)$ и $(1, 4)$, и две точки локального минимума, $(-2, -1)$ и $(4, -2)$. Значения на концах отрезка: $f(-6)=0$ и $f(6)=1$.

1. Экстремумы функции.

• Точки максимума: $x_{max1} = -4$ и $x_{max2} = 1$. Максимумы: $y(-4)=3$ и $y(1)=4$.
• Точки минимума: $x_{min1} = -2$ и $x_{min2} = 4$. Минимумы: $y(-2)=-1$ и $y(4)=-2$.

2. Наибольшее и наименьшее значения функции.

• Для нахождения наибольшего значения сравним все локальные максимумы и значения на концах отрезка: $f(-4)=3$, $f(1)=4$, $f(-6)=0$, $f(6)=1$. Наибольшее из этих значений равно 4. Значит, $y_{наиб} = 4$.
• Для нахождения наименьшего значения сравним все локальные минимумы и значения на концах отрезка: $f(-2)=-1$, $f(4)=-2$, $f(-6)=0$, $f(6)=1$. Наименьшее из этих значений равно -2. Значит, $y_{наим} = -2$.

Ответ: Экстремумы: максимумы 3 (в точке $x=-4$) и 4 (в точке $x=1$); минимумы -1 (в точке $x=-2$) и -2 (в точке $x=4$). Наибольшее значение функции: 4. Наименьшее значение функции: -2.