Номер 8.12, страница 59, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

8.12. Пусть функция $y = f(x)$ возрастает на $R$. Решите:

а) уравнение $f(3x + 2) = f(4x^2 + x)$;

б) неравенство $f(3x + 2) < f(4x^2 + x)$;

в) уравнение $f(3x - 48) = f(-x^2 + x)$;

г) неравенство $f(3x - 48) \le f(-x^2 + x)$.

а) Решим уравнение $f(3x + 2) = f(4x^2 + x)$.

Поскольку функция $y = f(x)$ возрастает на множестве всех действительных чисел $R$, равенство значений функции возможно тогда и только тогда, когда равны их аргументы. Следовательно, данное уравнение равносильно следующему:

$3x + 2 = 4x^2 + x$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$4x^2 + x - 3x - 2 = 0$

$4x^2 - 2x - 2 = 0$

Разделим обе части уравнения на 2, чтобы упростить его:

$2x^2 - x - 1 = 0$

Для решения этого уравнения найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9$

Теперь найдем корни уравнения по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{1 + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{1 + 3}{4} = \frac{4}{4} = 1$

$x_2 = \frac{1 - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{1 - 3}{4} = \frac{-2}{4} = -0.5$

Ответ: $x = -0.5; 1$.

б) Решим неравенство $f(3x + 2) < f(4x^2 + x)$.

Так как функция $f(x)$ возрастает на $R$, то $f(a) < f(b)$ тогда и только тогда, когда $a < b$. Поэтому данное неравенство равносильно следующему:

$3x + 2 < 4x^2 + x$

Перенесем все члены в правую часть:

$0 < 4x^2 - 2x - 2$

Разделим обе части на 2:

$2x^2 - x - 1 > 0$

Для решения этого квадратного неравенства найдем корни соответствующего уравнения $2x^2 - x - 1 = 0$. Как было найдено в пункте а), корни равны $x_1 = 1$ и $x_2 = -0.5$. Графиком функции $y = 2x^2 - x - 1$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($2 > 0$). Значения функции будут положительными (больше нуля) за пределами интервала между корнями.

Следовательно, решение неравенства: $x < -0.5$ или $x > 1$.

Ответ: $x \in (-\infty; -0.5) \cup (1; +\infty)$.

в) Решим уравнение $f(3x - 48) = f(-x^2 + x)$.

В силу возрастания функции $f(x)$ на $R$, уравнение равносильно равенству аргументов:

$3x - 48 = -x^2 + x$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить приведенное квадратное уравнение:

$x^2 - x + 3x - 48 = 0$

$x^2 + 2x - 48 = 0$

Решим это уравнение с помощью теоремы Виета. Ищем два корня, сумма которых равна $-2$, а произведение равно $-48$. Этими числами являются $6$ и $-8$.

Корни уравнения: $x_1 = 6$, $x_2 = -8$.

Также можно решить через дискриминант:

$D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-48) = 4 + 192 = 196 = 14^2$

$x_1 = \frac{-2 + 14}{2} = \frac{12}{2} = 6$

$x_2 = \frac{-2 - 14}{2} = \frac{-16}{2} = -8$

Ответ: $x = -8; 6$.

г) Решим неравенство $f(3x - 48) \le f(-x^2 + x)$.

Поскольку функция $f(x)$ является возрастающей на $R$, неравенство $f(a) \le f(b)$ равносильно неравенству $a \le b$. Таким образом, получаем:

$3x - 48 \le -x^2 + x$

Перенесем все члены в левую часть:

$x^2 + 2x - 48 \le 0$

Для решения этого неравенства воспользуемся корнями соответствующего уравнения $x^2 + 2x - 48 = 0$, которые мы нашли в пункте в): $x_1 = 6$ и $x_2 = -8$. Графиком функции $y = x^2 + 2x - 48$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Значения функции будут неположительными (меньше или равны нулю) на отрезке между корнями, включая сами корни.

Следовательно, решение неравенства: $-8 \le x \le 6$.

Ответ: $x \in [-8; 6]$.