Номер 8.15, страница 59, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

8.15. Пусть функция $y = f(x)$ определена на отрезке $[-1; 1]$ и убывает на нём. Решите:

а) уравнение $f(3x + 2) = f(4x^2 + x)$;

б) неравенство $f(3x + 2) < f(4x^2 + x)$.

Поскольку функция $y = f(x)$ определена на отрезке [-1; 1], ее аргументы, то есть выражения $(3x + 2)$ и $(4x^2 + x)$, должны принадлежать этому отрезку. Это значит, что для решения как уравнения, так и неравенства, необходимо, чтобы одновременно выполнялись следующие условия (это будет область допустимых значений - ОДЗ):

$ \begin{cases} -1 \le 3x + 2 \le 1 \\ -1 \le 4x^2 + x \le 1 \end{cases} $

Решим первое неравенство системы:
$ -1 \le 3x + 2 \le 1 $
Вычтем 2 из всех частей неравенства:
$ -1 - 2 \le 3x \le 1 - 2 $
$ -3 \le 3x \le -1 $
Разделим все части на 3:
$ -1 \le x \le -\frac{1}{3} $

Решим второе неравенство системы $ -1 \le 4x^2 + x \le 1 $, которое можно представить в виде системы из двух квадратичных неравенств:

1) $ 4x^2 + x \ge -1 \implies 4x^2 + x + 1 \ge 0 $.
Найдем дискриминант квадратного трехчлена $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1 = 1 - 16 = -15$. Так как старший коэффициент (4) положителен, а дискриминант отрицателен, парабола $y = 4x^2 + x + 1$ полностью лежит выше оси абсцисс. Следовательно, это неравенство выполняется для всех действительных чисел $x$.

2) $ 4x^2 + x \le 1 \implies 4x^2 + x - 1 \le 0 $.
Найдем корни уравнения $4x^2 + x - 1 = 0$. Дискриминант $D = 1^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-1) = 1 + 16 = 17$.
Корни: $x_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{17}}{8}$.
Так как ветви параболы $y = 4x^2 + x - 1$ направлены вверх, неравенство $4x^2 + x - 1 \le 0$ выполняется для значений $x$ между корнями (включая сами корни): $x \in [\frac{-1 - \sqrt{17}}{8}, \frac{-1 + \sqrt{17}}{8}]$.

Теперь найдем пересечение полученных решений, чтобы определить общую ОДЗ для $x$:
$ x \in [-1, -\frac{1}{3}] \cap [\frac{-1 - \sqrt{17}}{8}, \frac{-1 + \sqrt{17}}{8}] $.
Оценим значения: $\sqrt{16} < \sqrt{17} < \sqrt{25}$, т.е. $4 < \sqrt{17} < 5$.
$\frac{-1 - \sqrt{17}}{8} \approx \frac{-1 - 4.12}{8} \approx -0.64$. Это значение больше -1.
$\frac{-1 + \sqrt{17}}{8} \approx \frac{-1 + 4.12}{8} \approx 0.39$. Это значение больше $-\frac{1}{3} \approx -0.333$.
Следовательно, пересечением является отрезок $ [\frac{-1 - \sqrt{17}}{8}, -\frac{1}{3}] $. Это и есть ОДЗ.

а) уравнение f(3x + 2) = f(4x? + x)

Так как функция $f(x)$ убывает на своей области определения, она является взаимно-однозначной (инъективной). Поэтому равенство значений функции $f(a) = f(b)$ возможно тогда и только тогда, когда равны их аргументы: $a = b$.
Приравняем аргументы функции:
$ 3x + 2 = 4x^2 + x $
$ 4x^2 - 2x - 2 = 0 $
Разделим уравнение на 2:
$ 2x^2 - x - 1 = 0 $
Найдем корни. Дискриминант $D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9 = 3^2$.
Корни уравнения: $x_1 = \frac{1 + 3}{4} = 1$ и $x_2 = \frac{1 - 3}{4} = -\frac{1}{2}$.

Теперь необходимо проверить, принадлежат ли найденные корни ОДЗ: $x \in [\frac{-1 - \sqrt{17}}{8}, -\frac{1}{3}]$.
Корень $x_1 = 1$ не принадлежит ОДЗ, так как $1 > -\frac{1}{3}$.
Проверим корень $x_2 = -\frac{1}{2}$. Сравним его с границами ОДЗ:
$\frac{-1 - \sqrt{17}}{8} \le -\frac{1}{2} \iff -1 - \sqrt{17} \le -4 \iff 3 \le \sqrt{17} \iff 9 \le 17$. Неравенство верно.
$-\frac{1}{2} \le -\frac{1}{3} \iff -3 \le -2$. Неравенство верно.
Следовательно, корень $x_2 = -\frac{1}{2}$ принадлежит ОДЗ.

Ответ: $x = -\frac{1}{2}$.

б) неравенство f(3x + 2) < f(4x? + x)

Поскольку функция $f(x)$ является убывающей, то для любых $a$ и $b$ из ее области определения неравенство $f(a) < f(b)$ равносильно неравенству $a > b$.
Таким образом, исходное неравенство равносильно следующему:
$ 3x + 2 > 4x^2 + x $
$ 0 > 4x^2 - 2x - 2 $
$ 2x^2 - x - 1 < 0 $
Корни соответствующего уравнения $2x^2 - x - 1 = 0$ мы нашли в пункте а): $x_1 = 1$ и $x_2 = -\frac{1}{2}$.
Так как ветви параболы $y = 2x^2 - x - 1$ направлены вверх, неравенство выполняется на интервале между корнями: $x \in (-\frac{1}{2}, 1)$.

Для получения окончательного ответа необходимо найти пересечение этого решения с ОДЗ, то есть $x \in [\frac{-1 - \sqrt{17}}{8}, -\frac{1}{3}]$.