Номер 8.8, страница 57, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

8.8. На рисунке изображён график функции $y = f(x)$. Найдите промежутки монотонности функции $y = (f(x))^2$:

а) рис. 14;

б) рис. 15;

в) рис. 16;

г) рис. 17.

Рис. 14

Рис. 15

Рис. 16

Рис. 17

Для нахождения промежутков монотонности функции $y = g(x) = (f(x))^2$, мы проанализируем знак её производной. Используя правило дифференцирования сложной функции, получаем:

$g'(x) = ((f(x))^2)' = 2 \cdot f(x) \cdot f'(x)$

Знак производной $g'(x)$ определяет, возрастает или убывает функция $g(x)$:

• Функция $g(x)$ возрастает, когда $g'(x) > 0$. Это происходит, когда $f(x)$ и $f'(x)$ имеют одинаковые знаки:
  • $f(x) > 0$ (график $f(x)$ находится выше оси Ox) и функция $f(x)$ возрастает ($f'(x) > 0$).
  • $f(x) < 0$ (график $f(x)$ находится ниже оси Ox) и функция $f(x)$ убывает ($f'(x) < 0$).
• Функция $g(x)$ убывает, когда $g'(x) < 0$. Это происходит, когда $f(x)$ и $f'(x)$ имеют разные знаки:
  • $f(x) > 0$ (график $f(x)$ выше оси Ox) и функция $f(x)$ убывает ($f'(x) < 0$).
  • $f(x) < 0$ (график $f(x)$ ниже оси Ox) и функция $f(x)$ возрастает ($f'(x) > 0$).

Ключевыми точками для анализа являются нули функции $f(x)$ (точки пересечения с осью Ox) и точки экстремума функции $f(x)$ (где производная $f'(x)$ равна нулю или не существует).

Исходя из графика функции $f(x)$, определим её свойства:

• Область определения: $D(f) = [-3, 3]$.
• Точки экстремума: $x = -1$ (локальный максимум), $x = 1$ (локальный минимум).
• Нули функции: $f(x)=0$ в одной точке $x_0$. Судя по графику, $1 < x_0 < 3$. Будем считать, что $x_0=2$.
• Промежутки знакопостоянства $f(x)$: $f(x) < 0$ на $[-3, 2)$; $f(x) > 0$ на $(2, 3]$.
• Промежутки монотонности $f(x)$: $f(x)$ возрастает ($f'(x) > 0$) на $[-3, -1]$ и $[1, 3]$; $f(x)$ убывает ($f'(x) < 0$) на $[-1, 1]$.

Проанализируем знак $g'(x) = 2f(x)f'(x)$ на каждом интервале:

• На $[-3, -1]$: $f(x) < 0$ и $f'(x) > 0$. Знаки разные, $g'(x) < 0$, функция $g(x)$ убывает.
• На $[-1, 1]$: $f(x) < 0$ и $f'(x) < 0$. Знаки одинаковые, $g'(x) > 0$, функция $g(x)$ возрастает.
• На $[1, 2]$: $f(x) < 0$ и $f'(x) > 0$. Знаки разные, $g'(x) < 0$, функция $g(x)$ убывает.
• На $[2, 3]$: $f(x) > 0$ и $f'(x) > 0$. Знаки одинаковые, $g'(x) > 0$, функция $g(x)$ возрастает.

Ответ: функция $y=(f(x))^2$ возрастает на промежутках $[-1, 1]$ и $[2, 3]$; убывает на промежутках $[-3, -1]$ и $[1, 2]$.

Исходя из графика функции $f(x)$, определим её свойства, предполагая, что ключевые точки имеют целочисленные координаты:

• Область определения: $D(f) = [-3, 3]$. Точки $f(-3)=-1$ и $f(3)=-1$.
• Точки экстремума: $x = -2$ (локальный максимум, $f(-2)=1$), $x = 0$ (локальный минимум, $f(0)=-2$), $x = 2$ (локальный максимум, $f(2)=1$).
• Нули функции: $f(x)=0$ в точках $x=-1$ и $x=1$. Также есть корень $x_1 \in (-3, -2)$ и корень $x_2 \in (2, 3)$.
• Промежутки знакопостоянства $f(x)$: $f(x) > 0$ на $(x_1, -1) \cup (1, x_2)$; $f(x) < 0$ на $[-3, x_1) \cup (-1, 1) \cup (x_2, 3]$.
• Промежутки монотонности $f(x)$: $f(x)$ возрастает на $[-3, -2]$ и $[0, 2]$; $f(x)$ убывает на $[-2, 0]$ и $[2, 3]$.

Проанализируем знак $g'(x) = 2f(x)f'(x)$ на каждом интервале:

• На $[-3, x_1]$: $f(x) < 0, f'(x) > 0 \implies g'(x) < 0$, убывает.
• На $[x_1, -2]$: $f(x) > 0, f'(x) > 0 \implies g'(x) > 0$, возрастает.
• На $[-2, -1]$: $f(x) > 0, f'(x) < 0 \implies g'(x) < 0$, убывает.
• На $[-1, 0]$: $f(x) < 0, f'(x) < 0 \implies g'(x) > 0$, возрастает.
• На $[0, 1]$: $f(x) < 0, f'(x) > 0 \implies g'(x) < 0$, убывает.
• На $[1, 2]$: $f(x) > 0, f'(x) > 0 \implies g'(x) > 0$, возрастает.
• На $[2, x_2]$: $f(x) > 0, f'(x) < 0 \implies g'(x) < 0$, убывает.
• На $[x_2, 3]$: $f(x) < 0, f'(x) < 0 \implies g'(x) > 0$, возрастает.

Ответ: функция $y=(f(x))^2$ возрастает на промежутках $[x_1, -2]$, $[-1, 0]$, $[1, 2]$ и $[x_2, 3]$; убывает на промежутках $[-3, x_1]$, $[-2, -1]$, $[0, 1]$ и $[2, x_2]$, где $x_1$ и $x_2$ — корни функции $f(x)$ на интервалах $(-3,-2)$ и $(2,3)$ соответственно.

Исходя из графика функции $f(x)$, определим её свойства:

• Область определения: $D(f) = [-2, 3]$.
• Точки экстремума: $x = -1$ (локальный максимум, $f(-1)=1$), $x = 1$ (локальный минимум, $f(1)=-1$).
• Нули функции: $f(x)=0$ в точках $x=0$ и $x=2$. Также есть корень $x_0 \in (-2, -1)$ (приблизительно $x_0 = -1.5$).
• Промежутки знакопостоянства $f(x)$: $f(x) > 0$ на $(x_0, 0) \cup (2, 3]$; $f(x) < 0$ на $[-2, x_0) \cup (0, 2)$.
• Промежутки монотонности $f(x)$: $f(x)$ возрастает на $[-2, -1]$ и $[1, 3]$; $f(x)$ убывает на $[-1, 1]$.

Проанализируем знак $g'(x) = 2f(x)f'(x)$ на каждом интервале:

• На $[-2, x_0]$: $f(x) < 0, f'(x) > 0 \implies g'(x) < 0$, убывает.
• На $[x_0, -1]$: $f(x) > 0, f'(x) > 0 \implies g'(x) > 0$, возрастает.
• На $[-1, 0]$: $f(x) > 0, f'(x) < 0 \implies g'(x) < 0$, убывает.
• На $[0, 1]$: $f(x) < 0, f'(x) < 0 \implies g'(x) > 0$, возрастает.
• На $[1, 2]$: $f(x) < 0, f'(x) > 0 \implies g'(x) < 0$, убывает.
• На $[2, 3]$: $f(x) > 0, f'(x) > 0 \implies g'(x) > 0$, возрастает.

Ответ: функция $y=(f(x))^2$ возрастает на промежутках $[x_0, -1]$, $[0, 1]$ и $[2, 3]$; убывает на промежутках $[-2, x_0]$, $[-1, 0]$ и $[1, 2]$, где $x_0$ — корень функции $f(x)$ на интервале $(-2,-1)$.

Исходя из графика функции $f(x)$, определим её свойства:

• Область определения: $D(f) = [-2, 3]$.
• Точки экстремума: $x=0$ (локальный минимум, $f(0)=-2$), $x=2$ (локальный максимум, $f(2)=1$).
• Нули функции: $f(x)=0$ в точках $x=-1$ и $x=1$. Также есть корень $x_0 \in (2, 3)$ (приблизительно $x_0 = 7/3 \approx 2.33$).
• Промежутки знакопостоянства $f(x)$: $f(x) > 0$ на $[-2, -1) \cup (1, x_0)$; $f(x) < 0$ на $(-1, 1) \cup (x_0, 3]$.
• Промежутки монотонности $f(x)$: $f(x)$ возрастает на $[0, 2]$; $f(x)$ убывает на $[-2, 0]$ и $[2, 3]$.

Проанализируем знак $g'(x) = 2f(x)f'(x)$ на каждом интервале:

• На $[-2, -1]$: $f(x) > 0, f'(x) < 0 \implies g'(x) < 0$, убывает.
• На $[-1, 0]$: $f(x) < 0, f'(x) < 0 \implies g'(x) > 0$, возрастает.
• На $[0, 1]$: $f(x) < 0, f'(x) > 0 \implies g'(x) < 0$, убывает.
• На $[1, 2]$: $f(x) > 0, f'(x) > 0 \implies g'(x) > 0$, возрастает.
• На $[2, x_0]$: $f(x) > 0, f'(x) < 0 \implies g'(x) < 0$, убывает.
• На $[x_0, 3]$: $f(x) < 0, f'(x) < 0 \implies g'(x) > 0$, возрастает.

Ответ: функция $y=(f(x))^2$ возрастает на промежутках $[-1, 0]$, $[1, 2]$ и $[x_0, 3]$; убывает на промежутках $[-2, -1]$, $[0, 1]$ и $[2, x_0]$, где $x_0$ — корень функции $f(x)$ на интервале $(2,3)$.