Номер 8.4, страница 56, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

8.4. Определите промежутки монотонности функции:

а) $y = 4 - 3\sqrt{x - 5}$;

б) $y = \sqrt{x + 1} + \sqrt{2x - 3}$;

в) $y = -3 + 5\sqrt{2 - x}$;

г) $y = \sqrt{1 - x} + \sqrt{3 - 4x}$.

а) $y = 4 - 3\sqrt{x - 5}$

Для определения промежутков монотонности найдем область определения функции, ее производную и исследуем знак производной.

1. Область определения. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным: $x - 5 \ge 0 \implies x \ge 5$. Следовательно, область определения функции $D(y) = [5; +\infty)$.

2. Производная функции. $y' = (4 - 3\sqrt{x - 5})' = 0 - 3 \cdot (\sqrt{x-5})' = -3 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x - 5}} \cdot (x-5)' = -\frac{3}{2\sqrt{x - 5}}$.

3. Анализ знака производной. Производная определена для $x > 5$. На этом промежутке знаменатель $2\sqrt{x - 5}$ всегда положителен. Числитель -3 отрицателен. Таким образом, $y' < 0$ для всех $x \in (5; +\infty)$.

Поскольку функция непрерывна на луче $[5; +\infty)$ и ее производная отрицательна на интервале $(5; +\infty)$, функция монотонно убывает на всей своей области определения.

Ответ: функция убывает на промежутке $[5; +\infty)$.

б) $y = \sqrt{x + 1} + \sqrt{2x - 3}$

1. Область определения. Оба подкоренных выражения должны быть неотрицательными: $\begin{cases} x + 1 \ge 0 \\ 2x - 3 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -1 \\ x \ge \frac{3}{2} \end{cases}$. Пересечением этих условий является промежуток $[\frac{3}{2}; +\infty)$. Таким образом, $D(y) = [\frac{3}{2}; +\infty)$.

2. Производная функции. $y' = (\sqrt{x + 1})' + (\sqrt{2x - 3})' = \frac{1}{2\sqrt{x + 1}} + \frac{1}{2\sqrt{2x - 3}} \cdot (2x-3)' = \frac{1}{2\sqrt{x + 1}} + \frac{2}{2\sqrt{2x - 3}} = \frac{1}{2\sqrt{x + 1}} + \frac{1}{\sqrt{2x - 3}}$.

3. Анализ знака производной. Производная определена для $x > \frac{3}{2}$. На этом интервале оба слагаемых, $\frac{1}{2\sqrt{x + 1}}$ и $\frac{1}{\sqrt{2x - 3}}$, являются положительными. Следовательно, их сумма $y'$ также всегда положительна.

Так как функция непрерывна на $[\frac{3}{2}; +\infty)$ и ее производная положительна на $(\frac{3}{2}; +\infty)$, функция монотонно возрастает на всей своей области определения.

Ответ: функция возрастает на промежутке $[\frac{3}{2}; +\infty)$.

в) $y = -3 + 5\sqrt{2 - x}$

1. Область определения. $2 - x \ge 0 \implies x \le 2$. Область определения $D(y) = (-\infty; 2]$.

2. Производная функции. $y' = (-3 + 5\sqrt{2 - x})' = 5 \cdot \frac{1}{2\sqrt{2 - x}} \cdot (2-x)' = 5 \cdot \frac{-1}{2\sqrt{2 - x}} = -\frac{5}{2\sqrt{2 - x}}$.

3. Анализ знака производной. Производная определена для $x < 2$. На этом интервале знаменатель $2\sqrt{2 - x}$ положителен. Числитель -5 отрицателен. Таким образом, $y' < 0$ для всех $x \in (-\infty; 2)$.

Функция непрерывна на $(-\infty; 2]$ и ее производная отрицательна на $(-\infty; 2)$, следовательно, функция монотонно убывает на всей своей области определения.

Ответ: функция убывает на промежутке $(-\infty; 2]$.

г) $y = \sqrt{1 - x} + \sqrt{3 - 4x}$

1. Область определения. $\begin{cases} 1 - x \ge 0 \\ 3 - 4x \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \le 1 \\ 4x \le 3 \end{cases} \implies \begin{cases} x \le 1 \\ x \le \frac{3}{4} \end{cases}$. Пересечением является промежуток $(-\infty; \frac{3}{4}]$. Таким образом, $D(y) = (-\infty; \frac{3}{4}]$.

2. Производная функции. $y' = (\sqrt{1 - x})' + (\sqrt{3 - 4x})' = \frac{-1}{2\sqrt{1 - x}} + \frac{-4}{2\sqrt{3 - 4x}} = -\frac{1}{2\sqrt{1 - x}} - \frac{2}{\sqrt{3 - 4x}}$.

3. Анализ знака производной. Производная определена для $x < \frac{3}{4}$. На этом интервале оба слагаемых, $-\frac{1}{2\sqrt{1 - x}}$ и $-\frac{2}{\sqrt{3 - 4x}}$, являются отрицательными, так как знаменатели положительны. Следовательно, их сумма $y'$ также всегда отрицательна.

Функция непрерывна на $(-\infty; \frac{3}{4}]$ и ее производная отрицательна на $(-\infty; \frac{3}{4})$, следовательно, функция монотонно убывает на всей своей области определения.

Ответ: функция убывает на промежутке $(-\infty; \frac{3}{4}]$.