Страница 56, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

1. Что такое дедуктивный метод рассуждений?

1. Что такое дедуктивный метод рассуждений?

Дедуктивный метод рассуждений (от лат. deductio — выведение) — это способ логического мышления, при котором частное заключение с необходимостью выводится из общих положений (посылок). Это движение мысли от общего к частному. Главной особенностью дедукции является то, что если исходные посылки истинны, а само рассуждение построено логически верно, то полученный вывод будет гарантированно истинным.

Структура дедуктивного умозаключения обычно включает в себя одну или несколько посылок и заключение. Классическим примером дедукции является силлогизм, предложенный еще Аристотелем:

• Посылка 1 (общее правило): Все люди смертны.
• Посылка 2 (частный случай): Сократ — человек.
• Заключение (вывод): Следовательно, Сократ смертен.

В этом примере, если мы принимаем истинность обеих посылок, то вывод о смертности Сократа является логически неизбежным и достоверным.

Важно различать понятия валидности и обоснованности дедуктивного вывода.

• Валидность (формальная правильность). Рассуждение считается валидным, если его заключение логически следует из посылок, даже если сами посылки ложны. Валидность относится к структуре, а не к содержанию. Например:
  Посылка 1: Все планеты сделаны из зефира.
  Посылка 2: Венера — это планета.
  Заключение: Следовательно, Венера сделана из зефира.
  С точки зрения логики это рассуждение валидно, но заключение ложно, так как ложна первая посылка.
• Обоснованность (истинность). Рассуждение является обоснованным (или содержательно правильным), если оно валидно, и при этом все его посылки истинны. Только обоснованный вывод гарантирует истинность заключения. Пример с Сократом является обоснованным.

Дедуктивный метод часто противопоставляется индуктивному методу, который движется в обратном направлении — от частных наблюдений к общему выводу. Индуктивные выводы носят вероятностный характер и не гарантируют стопроцентной достоверности, в то время как дедукция стремится к абсолютной certainty.

Дедукция является основой для формальных наук, таких как математика и логика (где теоремы дедуктивно выводятся из аксиом), а также широко применяется в естественных науках для построения гипотез, в юриспруденции и в повседневной жизни для принятия решений на основе общих правил и принципов.

Ответ: Дедуктивный метод рассуждений — это процесс логического вывода, основанный на переходе от общих утверждений (посылок) к частному заключению. Ключевая особенность этого метода заключается в том, что при истинности исходных посылок и соблюдении правил логики, полученный вывод всегда будет достоверным. Он широко используется для доказательств и строгих логических построений в науке, математике и философии.

2. Что такое индуктивный метод рассуждений?

Индуктивный метод рассуждений (от лат. inductio — «наведение») — это способ логического умозаключения, при котором общий вывод делается на основе анализа частных случаев, наблюдений или фактов. Иными словами, это переход в рассуждениях от частного к общему. Индукция позволяет генерировать гипотезы и теории, но ее выводы, за исключением случаев полной индукции, носят вероятностный, а не абсолютно достоверный характер.

В отличие от дедукции, где из общих правил выводятся частные следствия (например, «Все люди смертны. Сократ — человек. Следовательно, Сократ смертен»), индукция движется в обратном направлении.

Виды индукции

Различают два основных вида индукции:

• Полная индукция — это метод, при котором общий вывод делается после изучения всех без исключения объектов данного класса. Выводы полной индукции являются достоверными. Однако ее применение ограничено ситуациями с конечным и обозримым числом элементов.
  Пример: Чтобы утверждать, что «каждый месяц в году имеет не более 31 дня», можно проверить все 12 месяцев. Поскольку мы рассмотрели все возможные случаи, вывод является абсолютно верным.
• Неполная индукция — это метод, при котором общий вывод о всем классе объектов делается на основе изучения лишь некоторой части этих объектов. Это наиболее распространенный вид индукции в науке и повседневной жизни. Ее выводы всегда носят вероятностный характер.
  Пример: Наблюдая, что лебеди, встреченные в Европе, белые, можно сделать индуктивный вывод: «Все лебеди белые». Однако этот вывод оказался ложным, когда в Австралии были обнаружены черные лебеди. Это иллюстрирует главную проблему неполной индукции: всегда существует вероятность встретить контрпример, который опровергнет общую гипотезу.

Метод математической индукции

В математике используется особый, строгий вид индуктивного рассуждения — метод математической индукции. Он применяется для доказательства истинности некоторого утверждения для всех натуральных чисел. Этот метод, в отличие от неполной индукции, дает абсолютно достоверные результаты.

Доказательство по методу математической индукции состоит из двух шагов:

1. База индукции: Проверяется истинность утверждения для начального значения, обычно для $n=1$.
2. Индукционный переход (шаг): Доказывается, что если утверждение верно для некоторого произвольного натурального числа $n=k$ (это называется индукционным предположением), то оно будет верно и для следующего числа $n=k+1$.

Если оба шага успешно выполнены, то на основании аксиомы индукции делается вывод, что утверждение истинно для всех натуральных чисел $n$.

Пример: Докажем, что сумма первых $n$ нечетных чисел равна $n^2$. То есть, $1 + 3 + 5 + \dots + (2n-1) = n^2$.

• База индукции ($n=1$):
  Сумма первого нечетного числа — это $1$. По формуле получаем $1^2 = 1$. Утверждение верно.
• Индукционный переход:
  Предположение (для $n=k$): Пусть формула верна для некоторого натурального $k$, то есть $1 + 3 + \dots + (2k-1) = k^2$.
  Доказательство (для $n=k+1$): Нужно доказать, что $1 + 3 + \dots + (2k-1) + (2(k+1)-1) = (k+1)^2$.
  Рассмотрим левую часть равенства:
  $\underbrace{1 + 3 + \dots + (2k-1)}_{\text{используем предположение}} + (2(k+1)-1) = k^2 + (2k+2-1) = k^2 + 2k + 1$.
  Мы знаем, что $k^2 + 2k + 1$ — это формула полного квадрата, равная $(k+1)^2$.
  Таким образом, мы показали, что из истинности утверждения для $n=k$ следует его истинность для $n=k+1$.

Поскольку база индукции и индукционный переход доказаны, утверждение $1 + 3 + 5 + \dots + (2n-1) = n^2$ истинно для всех натуральных чисел $n$.

Ответ: Индуктивный метод рассуждений — это способ получения общего вывода на основе частных посылок (наблюдений, фактов, экспериментов). Этот метод является ключевым для формирования гипотез в науке, но его выводы (кроме случаев полной и математической индукции) являются вероятностными, а не абсолютно достоверными, так как они основаны на обобщении ограниченного опыта.

3. Сформулируйте принцип математической индукции.

Принцип математической индукции — это метод математического доказательства, который используется для установления истинности некоторого утверждения для всех натуральных чисел, начиная с некоторого начального числа $n_0$ (обычно $n_0=1$ или $n_0=0$).

Пусть имеется утверждение $P(n)$, зависящее от натурального числа $n$. Доказательство по индукции состоит из двух ключевых этапов:

1. База индукции (или базис)

На этом этапе доказывается истинность утверждения для начального значения $n = n_0$. Необходимо напрямую проверить и показать, что утверждение $P(n_0)$ является истинным.

2. Индукционный переход (или шаг индукции)

На этом этапе доказывается, что если утверждение верно для некоторого произвольного натурального числа $k$ (где $k \ge n_0$), то оно будет верно и для следующего за ним числа $k+1$. Для этого делается индукционное предположение (или предположение индукции): «Пусть утверждение $P(k)$ истинно для некоторого $k \ge n_0$». Затем, опираясь на это предположение, доказывается истинность утверждения $P(k+1)$. Таким образом, доказывается истинность импликации $P(k) \implies P(k+1)$ для любого $k \ge n_0$.

Если оба этапа — база индукции и индукционный переход — успешно пройдены, то на основании принципа математической индукции делается заключение, что утверждение $P(n)$ истинно для всех натуральных чисел $n \ge n_0$.

Ответ: Принцип математической индукции гласит, что если утверждение $P(n)$, зависящее от натурального числа $n$, истинно для начального значения $n=n_0$ (база индукции), и если из предположения, что оно истинно для произвольного $n=k \ge n_0$, следует, что оно истинно и для $n=k+1$ (индукционный переход), то утверждение $P(n)$ является истинным для всех натуральных чисел $n \ge n_0$.

4. Как вы считаете, метод математической индукции — дедуктивный или индуктивный метод?

Несмотря на свое название, метод математической индукции является дедуктивным, а не индуктивным методом рассуждения. Чтобы понять почему, необходимо различать индукцию в естественных науках (эмпирическую индукцию) и математическую индукцию.

Индуктивное рассуждение — это метод, при котором общий вывод делается на основе конечного числа частных наблюдений. Например, увидев сто белых лебедей, можно сделать индуктивный вывод, что «все лебеди белые». Такой вывод является вероятностным, но не абсолютно достоверным, так как он может быть опровергнут одним контрпримером (встречей с черным лебедем). Индукция ведет от частного к общему, и ее выводы не являются логически строгими.

Дедуктивное рассуждение — это метод, при котором вывод с логической необходимостью следует из общих посылок (аксиом, определений, ранее доказанных теорем). Если посылки истинны, то и вывод гарантированно истинен. Дедукция ведет от общего к частному или от общих правил к конкретным заключениям. Например: «Все люди смертны. Сократ — человек. Следовательно, Сократ смертен». Вывод здесь является абсолютно достоверным.

Метод математической индукции используется для доказательства истинности некоторого утверждения $P(n)$ для всех натуральных чисел $n$, начиная с некоторого числа $n_0$. Он состоит из двух шагов:

1. База индукции: Доказывается истинность утверждения для начального значения $n=n_0$, то есть доказывается $P(n_0)$. Это прямое, дедуктивное доказательство для одного конкретного случая.
2. Индукционный переход (шаг индукции): Доказывается, что если утверждение $P(k)$ истинно для некоторого произвольного натурального числа $k \ge n_0$ (это называется индуктивным предположением), то оно будет истинно и для следующего числа $k+1$. То есть, доказывается логическая импликация $P(k) \Rightarrow P(k+1)$. Этот шаг также является чисто дедуктивным умозаключением, основанным на правилах логики и аксиомах.

Принцип математической индукции (который сам является аксиомой или теоремой в формальных системах, таких как арифметика Пеано) утверждает, что если оба этих шага выполнены, то утверждение $P(n)$ истинно для всех натуральных чисел $n \ge n_0$. Этот метод не делает предположение на основе нескольких примеров. Вместо этого он строит бесконечную цепь дедуктивных выводов:

$P(n_0)$ истинно (из базы).
Так как $P(n_0)$ истинно, то из $P(k) \Rightarrow P(k+1)$ следует, что $P(n_0+1)$ истинно.
Так как $P(n_0+1)$ истинно, то из $P(k) \Rightarrow P(k+1)$ следует, что $P(n_0+2)$ истинно.
И так далее до бесконечности.

Каждый шаг в этой цепи является логически обоснованным и строгим. Таким образом, вывод, полученный методом математической индукции, является абсолютно достоверным, а не вероятностным. Это ключевая характеристика дедуктивного метода. Название «индукция» является историческим и может вводить в заблуждение, но по своей логической сути этот метод — форма дедукции.

Ответ: Метод математической индукции — это дедуктивный метод.

5. Дана геометрическая прогрессия $b_1, b_2, ..., b_n, ...$ со знаменателем $q$. С помощью метода математической индукции докажите, что $b_n = b_1q^{n-1}$.

Для доказательства формулы n-го члена геометрической прогрессии $b_n = b_1q^{n-1}$ воспользуемся методом математической индукции, который состоит из двух шагов: проверки базы индукции и доказательства индукционного перехода.

Шаг 1: База индукции

Проверим, выполняется ли доказываемое утверждение для наименьшего натурального номера $n=1$. Подставим $n=1$ в формулу $b_n = b_1q^{n-1}$:

$b_1 = b_1q^{1-1}$

$b_1 = b_1q^0$

Поскольку любое число (при $q \neq 0$) в нулевой степени равно 1, то $q^0 = 1$. Таким образом, мы получаем верное равенство:

$b_1 = b_1 \cdot 1$

$b_1 = b_1$

Утверждение верно для $n=1$. База индукции доказана.

Шаг 2: Индукционный переход

Предположим, что формула верна для некоторого произвольного натурального числа $n=k$, где $k \ge 1$. Это называется индукционным предположением:

$b_k = b_1q^{k-1}$

Теперь, основываясь на этом предположении, докажем, что формула будет верна и для следующего натурального числа, то есть для $n=k+1$. Нам нужно доказать, что $b_{k+1} = b_1q^{(k+1)-1}$, то есть $b_{k+1} = b_1q^k$.

По определению геометрической прогрессии, каждый её член, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на знаменатель $q$. Следовательно:

$b_{k+1} = b_k \cdot q$

Заменим в этом выражении $b_k$ на его эквивалент из нашего индукционного предположения ($b_k = b_1q^{k-1}$):

$b_{k+1} = (b_1q^{k-1}) \cdot q$

Применяя свойство степеней $a^m \cdot a^1 = a^{m+1}$, получаем:

$b_{k+1} = b_1q^{k-1+1}$

$b_{k+1} = b_1q^k$

Мы получили в точности то равенство, которое требовалось доказать для $n=k+1$. Таким образом, индукционный переход доказан.

Поскольку оба шага метода математической индукции выполнены (база проверена, и переход доказан), мы можем заключить, что формула $b_n = b_1q^{n-1}$ верна для всех натуральных чисел $n$.

Ответ: Утверждение $b_n = b_1q^{n-1}$ доказано методом математической индукции. Что и требовалось доказать.

8.2. Докажите:

а) если функция $y = f(x)$ возрастает на промежутке $X$ и $a > 0$, то при любом значении $b$ функция $y = a \cdot f(x) + b$ возрастает на $X$;

б) если функция $y = f(x)$ убывает на промежутке $X$ и $a < 0$, то при любом значении $b$ функция $y = a \cdot f(x) + b$ возрастает на $X$;

в) если функция $y = f(x)$ убывает на промежутке $X$ и $a > 0$, то при любом значении $b$ функция $y = a \cdot f(x) + b$ убывает на $X$;

г) если функция $y = f(x)$ возрастает на промежутке $X$ и $a < 0$, то при любом значении $b$ функция $y = a \cdot f(x) + b$ убывает на $X$.

Для доказательства всех утверждений воспользуемся определением монотонности функции. Функция $g(x)$ называется возрастающей на промежутке $X$, если для любых $x_1, x_2 \in X$ таких, что $x_1 < x_2$, выполняется неравенство $g(x_1) < g(x_2)$. Функция называется убывающей, если при тех же условиях выполняется $g(x_1) > g(x_2)$.

Рассмотрим функцию $y = g(x) = a \cdot f(x) + b$. Выберем произвольные точки $x_1, x_2$ из промежутка $X$ так, что $x_1 < x_2$. Исследуем знак разности $g(x_2) - g(x_1)$:

$g(x_2) - g(x_1) = (a \cdot f(x_2) + b) - (a \cdot f(x_1) + b) = a \cdot f(x_2) + b - a \cdot f(x_1) - b = a \cdot (f(x_2) - f(x_1))$.

Знак этой разности определяет характер монотонности функции $g(x)$. Он зависит от знака сомножителей $a$ и $(f(x_2) - f(x_1))$.

а)

По условию, функция $y = f(x)$ возрастает на промежутке $X$. Это означает, что для $x_1 < x_2$ выполняется $f(x_1) < f(x_2)$, и следовательно, разность $f(x_2) - f(x_1) > 0$.
Также по условию $a > 0$.
Произведение двух положительных чисел положительно: $a \cdot (f(x_2) - f(x_1)) > 0$.
Таким образом, $g(x_2) - g(x_1) > 0$, откуда $g(x_2) > g(x_1)$.
Это по определению означает, что функция $y = a \cdot f(x) + b$ возрастает на промежутке $X$.

Ответ: утверждение доказано.

б)

По условию, функция $y = f(x)$ убывает на промежутке $X$. Это означает, что для $x_1 < x_2$ выполняется $f(x_1) > f(x_2)$, и следовательно, разность $f(x_2) - f(x_1) < 0$.
Также по условию $a < 0$.
Произведение двух отрицательных чисел положительно: $a \cdot (f(x_2) - f(x_1)) > 0$.
Таким образом, $g(x_2) - g(x_1) > 0$, откуда $g(x_2) > g(x_1)$.
Это по определению означает, что функция $y = a \cdot f(x) + b$ возрастает на промежутке $X$.

Ответ: утверждение доказано.

в)

По условию, функция $y = f(x)$ убывает на промежутке $X$. Это означает, что для $x_1 < x_2$ выполняется $f(x_1) > f(x_2)$, и следовательно, разность $f(x_2) - f(x_1) < 0$.
Также по условию $a > 0$.
Произведение положительного и отрицательного чисел отрицательно: $a \cdot (f(x_2) - f(x_1)) < 0$.
Таким образом, $g(x_2) - g(x_1) < 0$, откуда $g(x_2) < g(x_1)$.
Это по определению означает, что функция $y = a \cdot f(x) + b$ убывает на промежутке $X$.

Ответ: утверждение доказано.

г)

По условию, функция $y = f(x)$ возрастает на промежутке $X$. Это означает, что для $x_1 < x_2$ выполняется $f(x_1) < f(x_2)$, и следовательно, разность $f(x_2) - f(x_1) > 0$.
Также по условию $a < 0$.
Произведение отрицательного и положительного чисел отрицательно: $a \cdot (f(x_2) - f(x_1)) < 0$.
Таким образом, $g(x_2) - g(x_1) < 0$, откуда $g(x_2) < g(x_1)$.
Это по определению означает, что функция $y = a \cdot f(x) + b$ убывает на промежутке $X$.

Ответ: утверждение доказано.

8.3. Докажите:

а) если каждая из двух функций возрастает на промежутке $X$, то их сумма также возрастает на этом промежутке;

б) если каждая из двух функций убывает на промежутке $X$, то их сумма также убывает на этом промежутке.

а)

Пусть даны две функции $f(x)$ и $g(x)$, каждая из которых возрастает на промежутке $X$.

По определению возрастающей функции, для любых двух значений аргумента $x_1$ и $x_2$ из промежутка $X$ таких, что $x_2 > x_1$, выполняются следующие неравенства:

$f(x_2) > f(x_1)$

$g(x_2) > g(x_1)$

Нам нужно доказать, что их сумма, функция $h(x) = f(x) + g(x)$, также возрастает на промежутке $X$. Это значит, что для тех же $x_1$ и $x_2$ (где $x_2 > x_1$) должно выполняться неравенство $h(x_2) > h(x_1)$.

Сложим два верных неравенства $f(x_2) > f(x_1)$ и $g(x_2) > g(x_1)$ почленно. Так как оба неравенства одного знака, мы можем это сделать:

$f(x_2) + g(x_2) > f(x_1) + g(x_1)$

Поскольку $h(x) = f(x) + g(x)$, левая часть полученного неравенства равна $h(x_2)$, а правая — $h(x_1)$. Таким образом, мы имеем:

$h(x_2) > h(x_1)$

Это и есть условие возрастания функции $h(x)$. Так как это справедливо для любой пары $x_1, x_2$ из $X$ при $x_2 > x_1$, мы доказали, что сумма двух возрастающих на промежутке $X$ функций также возрастает на этом промежутке.

Ответ: Утверждение доказано.

б)

Пусть даны две функции $f(x)$ и $g(x)$, каждая из которых убывает на промежутке $X$.

По определению убывающей функции, для любых двух значений аргумента $x_1$ и $x_2$ из промежутка $X$ таких, что $x_2 > x_1$, выполняются следующие неравенства:

$f(x_2) < f(x_1)$

$g(x_2) < g(x_1)$

Нам нужно доказать, что их сумма, функция $h(x) = f(x) + g(x)$, также убывает на промежутке $X$. Это значит, что для тех же $x_1$ и $x_2$ (где $x_2 > x_1$) должно выполняться неравенство $h(x_2) < h(x_1)$.

Сложим два верных неравенства $f(x_2) < f(x_1)$ и $g(x_2) < g(x_1)$ почленно. Сложение неравенств одного знака является корректной операцией:

$f(x_2) + g(x_2) < f(x_1) + g(x_1)$

Заменяя суммы на функцию $h(x)$, получаем:

$h(x_2) < h(x_1)$

Это и есть условие убывания функции $h(x)$. Так как это справедливо для любой пары $x_1, x_2$ из $X$ при $x_2 > x_1$, мы доказали, что сумма двух убывающих на промежутке $X$ функций также убывает на этом промежутке.

Ответ: Утверждение доказано.

8.4. Определите промежутки монотонности функции:

а) $y = 4 - 3\sqrt{x - 5}$;

б) $y = \sqrt{x + 1} + \sqrt{2x - 3}$;

в) $y = -3 + 5\sqrt{2 - x}$;

г) $y = \sqrt{1 - x} + \sqrt{3 - 4x}$.

а) $y = 4 - 3\sqrt{x - 5}$

Для определения промежутков монотонности найдем область определения функции, ее производную и исследуем знак производной.

1. Область определения. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным: $x - 5 \ge 0 \implies x \ge 5$. Следовательно, область определения функции $D(y) = [5; +\infty)$.

2. Производная функции. $y' = (4 - 3\sqrt{x - 5})' = 0 - 3 \cdot (\sqrt{x-5})' = -3 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x - 5}} \cdot (x-5)' = -\frac{3}{2\sqrt{x - 5}}$.

3. Анализ знака производной. Производная определена для $x > 5$. На этом промежутке знаменатель $2\sqrt{x - 5}$ всегда положителен. Числитель -3 отрицателен. Таким образом, $y' < 0$ для всех $x \in (5; +\infty)$.

Поскольку функция непрерывна на луче $[5; +\infty)$ и ее производная отрицательна на интервале $(5; +\infty)$, функция монотонно убывает на всей своей области определения.

Ответ: функция убывает на промежутке $[5; +\infty)$.

б) $y = \sqrt{x + 1} + \sqrt{2x - 3}$

1. Область определения. Оба подкоренных выражения должны быть неотрицательными: $\begin{cases} x + 1 \ge 0 \\ 2x - 3 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -1 \\ x \ge \frac{3}{2} \end{cases}$. Пересечением этих условий является промежуток $[\frac{3}{2}; +\infty)$. Таким образом, $D(y) = [\frac{3}{2}; +\infty)$.

2. Производная функции. $y' = (\sqrt{x + 1})' + (\sqrt{2x - 3})' = \frac{1}{2\sqrt{x + 1}} + \frac{1}{2\sqrt{2x - 3}} \cdot (2x-3)' = \frac{1}{2\sqrt{x + 1}} + \frac{2}{2\sqrt{2x - 3}} = \frac{1}{2\sqrt{x + 1}} + \frac{1}{\sqrt{2x - 3}}$.

3. Анализ знака производной. Производная определена для $x > \frac{3}{2}$. На этом интервале оба слагаемых, $\frac{1}{2\sqrt{x + 1}}$ и $\frac{1}{\sqrt{2x - 3}}$, являются положительными. Следовательно, их сумма $y'$ также всегда положительна.

Так как функция непрерывна на $[\frac{3}{2}; +\infty)$ и ее производная положительна на $(\frac{3}{2}; +\infty)$, функция монотонно возрастает на всей своей области определения.

Ответ: функция возрастает на промежутке $[\frac{3}{2}; +\infty)$.

в) $y = -3 + 5\sqrt{2 - x}$

1. Область определения. $2 - x \ge 0 \implies x \le 2$. Область определения $D(y) = (-\infty; 2]$.

2. Производная функции. $y' = (-3 + 5\sqrt{2 - x})' = 5 \cdot \frac{1}{2\sqrt{2 - x}} \cdot (2-x)' = 5 \cdot \frac{-1}{2\sqrt{2 - x}} = -\frac{5}{2\sqrt{2 - x}}$.

3. Анализ знака производной. Производная определена для $x < 2$. На этом интервале знаменатель $2\sqrt{2 - x}$ положителен. Числитель -5 отрицателен. Таким образом, $y' < 0$ для всех $x \in (-\infty; 2)$.

Функция непрерывна на $(-\infty; 2]$ и ее производная отрицательна на $(-\infty; 2)$, следовательно, функция монотонно убывает на всей своей области определения.

Ответ: функция убывает на промежутке $(-\infty; 2]$.

г) $y = \sqrt{1 - x} + \sqrt{3 - 4x}$

1. Область определения. $\begin{cases} 1 - x \ge 0 \\ 3 - 4x \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \le 1 \\ 4x \le 3 \end{cases} \implies \begin{cases} x \le 1 \\ x \le \frac{3}{4} \end{cases}$. Пересечением является промежуток $(-\infty; \frac{3}{4}]$. Таким образом, $D(y) = (-\infty; \frac{3}{4}]$.

2. Производная функции. $y' = (\sqrt{1 - x})' + (\sqrt{3 - 4x})' = \frac{-1}{2\sqrt{1 - x}} + \frac{-4}{2\sqrt{3 - 4x}} = -\frac{1}{2\sqrt{1 - x}} - \frac{2}{\sqrt{3 - 4x}}$.

3. Анализ знака производной. Производная определена для $x < \frac{3}{4}$. На этом интервале оба слагаемых, $-\frac{1}{2\sqrt{1 - x}}$ и $-\frac{2}{\sqrt{3 - 4x}}$, являются отрицательными, так как знаменатели положительны. Следовательно, их сумма $y'$ также всегда отрицательна.

Функция непрерывна на $(-\infty; \frac{3}{4}]$ и ее производная отрицательна на $(-\infty; \frac{3}{4})$, следовательно, функция монотонно убывает на всей своей области определения.

Ответ: функция убывает на промежутке $(-\infty; \frac{3}{4}]$.

8.5. a) Пусть функция $y = f(x)$ возрастает и принимает только положительные значения на промежутке $X$. Докажите, что функция $y = (f(x))^2$ возрастает на промежутке $X$.

б) Пусть функция $y = f(x)$ убывает и принимает только положительные значения на промежутке $X$. Докажите, что функция $y = (f(x))^2$ убывает на промежутке $X$.

в) Пусть функция $y = f(x)$ возрастает и принимает только отрицательные значения на промежутке $X$. Докажите, что функция $y = (f(x))^2$ убывает на промежутке $X$.

г) Пусть функция $y = f(x)$ убывает и принимает только отрицательные значения на промежутке $X$. Докажите, что функция $y = (f(x))^2$ возрастает на промежутке $X$.

а) Пусть функция $y = f(x)$ возрастает и принимает только положительные значения на промежутке $X$. Докажите, что функция $y = (f(x))^2$ возрастает на промежутке $X$.

Доказательство:

Пусть $g(x) = (f(x))^2$. Нам нужно доказать, что функция $g(x)$ возрастает на промежутке $X$. По определению, функция является возрастающей, если для любых двух точек $x_1$ и $x_2$ из её области определения, таких что $x_1 < x_2$, выполняется неравенство $g(x_1) < g(x_2)$.

Возьмем произвольные точки $x_1, x_2 \in X$ такие, что $x_1 < x_2$.

Поскольку функция $f(x)$ возрастает на $X$, из $x_1 < x_2$ следует $f(x_1) < f(x_2)$.

Поскольку функция $f(x)$ принимает только положительные значения, то $f(x_1) > 0$ и $f(x_2) > 0$. Таким образом, мы имеем неравенство $0 < f(x_1) < f(x_2)$.

Рассмотрим значения функции $g(x)$ в этих точках: $g(x_1) = (f(x_1))^2$ и $g(x_2) = (f(x_2))^2$. Так как обе части неравенства $f(x_1) < f(x_2)$ положительны, мы можем возвести его в квадрат, при этом знак неравенства сохранится:

$(f(x_1))^2 < (f(x_2))^2$

Следовательно, $g(x_1) < g(x_2)$.

Так как для любых $x_1, x_2 \in X$ из $x_1 < x_2$ следует $g(x_1) < g(x_2)$, функция $y = (f(x))^2$ возрастает на промежутке $X$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

б) Пусть функция $y = f(x)$ убывает и принимает только положительные значения на промежутке $X$. Докажите, что функция $y = (f(x))^2$ убывает на промежутке $X$.

Доказательство:

Пусть $g(x) = (f(x))^2$. Нам нужно доказать, что функция $g(x)$ убывает на промежутке $X$. По определению, функция является убывающей, если для любых двух точек $x_1$ и $x_2$ из её области определения, таких что $x_1 < x_2$, выполняется неравенство $g(x_1) > g(x_2)$.

Возьмем произвольные точки $x_1, x_2 \in X$ такие, что $x_1 < x_2$.

Поскольку функция $f(x)$ убывает на $X$, из $x_1 < x_2$ следует $f(x_1) > f(x_2)$.

Поскольку функция $f(x)$ принимает только положительные значения, то $f(x_1) > 0$ и $f(x_2) > 0$. Таким образом, мы имеем неравенство $f(x_1) > f(x_2) > 0$.

Рассмотрим значения функции $g(x)$ в этих точках: $g(x_1) = (f(x_1))^2$ и $g(x_2) = (f(x_2))^2$. Так как обе части неравенства $f(x_1) > f(x_2)$ положительны, мы можем возвести его в квадрат, при этом знак неравенства сохранится:

$(f(x_1))^2 > (f(x_2))^2$

Следовательно, $g(x_1) > g(x_2)$.

Так как для любых $x_1, x_2 \in X$ из $x_1 < x_2$ следует $g(x_1) > g(x_2)$, функция $y = (f(x))^2$ убывает на промежутке $X$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

в) Пусть функция $y = f(x)$ возрастает и принимает только отрицательные значения на промежутке $X$. Докажите, что функция $y = (f(x))^2$ убывает на промежутке $X$.

Доказательство:

Пусть $g(x) = (f(x))^2$. Нам нужно доказать, что функция $g(x)$ убывает на промежутке $X$.

Возьмем произвольные точки $x_1, x_2 \in X$ такие, что $x_1 < x_2$.

Поскольку функция $f(x)$ возрастает на $X$, из $x_1 < x_2$ следует $f(x_1) < f(x_2)$.

Поскольку функция $f(x)$ принимает только отрицательные значения, то $f(x_1) < 0$ и $f(x_2) < 0$. Таким образом, мы имеем неравенство $f(x_1) < f(x_2) < 0$.

Рассмотрим значения функции $g(x)$ в этих точках: $g(x_1) = (f(x_1))^2$ и $g(x_2) = (f(x_2))^2$. При возведении в квадрат отрицательных чисел знак неравенства меняется на противоположный. Чтобы это показать, умножим обе части неравенства $f(x_1) < f(x_2)$ на $-1$, что изменит знак неравенства: $-f(x_1) > -f(x_2)$. Теперь обе части нового неравенства положительны, и мы можем возвести их в квадрат: $(-f(x_1))^2 > (-f(x_2))^2$. Так как для любого числа $a$ верно, что $(-a)^2 = a^2$, получаем:

$(f(x_1))^2 > (f(x_2))^2$

Следовательно, $g(x_1) > g(x_2)$.

Так как для любых $x_1, x_2 \in X$ из $x_1 < x_2$ следует $g(x_1) > g(x_2)$, функция $y = (f(x))^2$ убывает на промежутке $X$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

г) Пусть функция $y = f(x)$ убывает и принимает только отрицательные значения на промежутке $X$. Докажите, что функция $y = (f(x))^2$ возрастает на промежутке $X$.

Доказательство:

Пусть $g(x) = (f(x))^2$. Нам нужно доказать, что функция $g(x)$ возрастает на промежутке $X$.

Возьмем произвольные точки $x_1, x_2 \in X$ такие, что $x_1 < x_2$.

Поскольку функция $f(x)$ убывает на $X$, из $x_1 < x_2$ следует $f(x_1) > f(x_2)$.

Поскольку функция $f(x)$ принимает только отрицательные значения, то $f(x_1) < 0$ и $f(x_2) < 0$. Таким образом, мы имеем неравенство $0 > f(x_1) > f(x_2)$.

Рассмотрим значения функции $g(x)$ в этих точках: $g(x_1) = (f(x_1))^2$ и $g(x_2) = (f(x_2))^2$. Умножим обе части неравенства $f(x_1) > f(x_2)$ на $-1$, что изменит знак неравенства: $-f(x_1) < -f(x_2)$. Теперь обе части нового неравенства положительны, и мы можем возвести их в квадрат: $(-f(x_1))^2 < (-f(x_2))^2$. Так как $(-a)^2 = a^2$, получаем:

$(f(x_1))^2 < (f(x_2))^2$

Следовательно, $g(x_1) < g(x_2)$.

Так как для любых $x_1, x_2 \in X$ из $x_1 < x_2$ следует $g(x_1) < g(x_2)$, функция $y = (f(x))^2$ возрастает на промежутке $X$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

8.6. Найдите промежутки монотонности функции:

а) $y = (x^2 + 1)^2;$

б) $y = x^4 + 6x^2 + 15;$

в) $y = (x^2 - 3x + 10)^2;$

г) $y = (x^2 + 2)^2 - 2x^2 - 3.$

а) $y = (x^2 + 1)^2$

Для нахождения промежутков монотонности функции найдем ее производную. Данная функция является сложной, поэтому используем правило дифференцирования сложной функции: $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$.
$y' = ((x^2 + 1)^2)' = 2(x^2 + 1) \cdot (x^2 + 1)' = 2(x^2 + 1) \cdot 2x = 4x(x^2 + 1)$.

Далее найдем критические точки, приравняв производную к нулю:
$4x(x^2 + 1) = 0$.
Так как выражение $x^2 + 1$ всегда строго больше нуля (поскольку $x^2 \ge 0$, то $x^2 + 1 \ge 1$), уравнение равносильно $4x = 0$, откуда $x = 0$. Это единственная критическая точка.

Определим знаки производной на интервалах $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$, на которые точка $x=0$ разбивает числовую ось. Знак производной $y'$ совпадает со знаком множителя $x$, так как $(x^2+1) > 0$.
- При $x \in (-\infty; 0)$, $y' < 0$, следовательно, функция убывает на этом промежутке.
- При $x \in (0; +\infty)$, $y' > 0$, следовательно, функция возрастает на этом промежутке.

Ответ: функция убывает на промежутке $(-\infty; 0]$ и возрастает на промежутке $[0; +\infty)$.

б) $y = x^4 + 6x^2 + 15$

Найдем производную функции:
$y' = (x^4 + 6x^2 + 15)' = 4x^3 + 12x$.

Найдем критические точки, решив уравнение $y' = 0$:
$4x^3 + 12x = 0$
$4x(x^2 + 3) = 0$.
Выражение $x^2 + 3$ всегда положительно ( $x^2 + 3 \ge 3$ ), поэтому уравнение сводится к $4x = 0$, откуда $x = 0$.

Определим знаки производной на интервалах $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$. Знак $y' = 4x(x^2 + 3)$ определяется знаком множителя $x$.
- При $x < 0$, $y' < 0$, значит, функция убывает на промежутке $(-\infty; 0]$.
- При $x > 0$, $y' > 0$, значит, функция возрастает на промежутке $[0; +\infty)$.

Ответ: функция убывает на промежутке $(-\infty; 0]$ и возрастает на промежутке $[0; +\infty)$.

в) $y = (x^2 - 3x + 10)^2$

Найдем производную, используя правило для сложной функции:
$y' = ((x^2 - 3x + 10)^2)' = 2(x^2 - 3x + 10) \cdot (x^2 - 3x + 10)' = 2(x^2 - 3x + 10)(2x - 3)$.

Найдем критические точки из уравнения $y' = 0$:
$2(x^2 - 3x + 10)(2x - 3) = 0$.
Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:
1) $x^2 - 3x + 10 = 0$. Дискриминант этого квадратного уравнения $D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 9 - 40 = -31$. Так как $D < 0$ и коэффициент при $x^2$ положителен, то выражение $x^2 - 3x + 10$ всегда положительно.
2) $2x - 3 = 0$, откуда $x = 1.5$.
Таким образом, у функции одна критическая точка $x = 1.5$.

Определим знаки производной на интервалах $(-\infty; 1.5)$ и $(1.5; +\infty)$. Так как множитель $(x^2 - 3x + 10)$ всегда положителен, знак производной $y'$ определяется знаком множителя $(2x - 3)$.
- При $x < 1.5$, $(2x - 3) < 0$, следовательно $y' < 0$ и функция убывает на промежутке $(-\infty; 1.5]$.
- При $x > 1.5$, $(2x - 3) > 0$, следовательно $y' > 0$ и функция возрастает на промежутке $[1.5; +\infty)$.

Ответ: функция убывает на промежутке $(-\infty; 1.5]$ и возрастает на промежутке $[1.5; +\infty)$.

г) $y = (x^2 + 2)^2 - 2x^2 - 3$

Сначала упростим выражение для функции, раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые:
$y = (x^4 + 4x^2 + 4) - 2x^2 - 3 = x^4 + 2x^2 + 1$.
Полученное выражение можно свернуть по формуле квадрата суммы:
$y = (x^2 + 1)^2$.
Эта функция полностью совпадает с функцией из пункта а), поэтому промежутки монотонности будут такими же. Для полноты решения проведем анализ заново.

Найдем производную:
$y' = ((x^2 + 1)^2)' = 2(x^2 + 1) \cdot 2x = 4x(x^2 + 1)$.

Найдем критические точки из уравнения $y' = 0$:
$4x(x^2 + 1) = 0$.
Так как $x^2 + 1 > 0$ для любого действительного $x$, единственной критической точкой является $x=0$.

Определим знаки производной на интервалах $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$.
- При $x < 0$, $y' < 0$, следовательно, функция убывает на промежутке $(-\infty; 0]$.
- При $x > 0$, $y' > 0$, следовательно, функция возрастает на промежутке $[0; +\infty)$.

Ответ: функция убывает на промежутке $(-\infty; 0]$ и возрастает на промежутке $[0; +\infty)$.