Страница 50, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

7.42. а) $y = 1 - \frac{2}{x}$;

б) $y = \frac{x-1}{x+1}$;

в) $y = \frac{3}{x} - 12$;

г) $y = \frac{4x}{12x+5}$.

а) Для нахождения обратной функции к $y = 1 - \frac{2}{x}$ необходимо выразить $x$ через $y$. В полученной формуле $x = f(y)$ нужно поменять переменные местами, чтобы получить обратную функцию в стандартном виде $y = f^{-1}(x)$.
Исходная функция: $y = 1 - \frac{2}{x}$.
Поменяем переменные $x$ и $y$ местами:
$x = 1 - \frac{2}{y}$
Теперь решим это уравнение относительно $y$:
$x - 1 = -\frac{2}{y}$
$1 - x = \frac{2}{y}$
$y(1 - x) = 2$
$y = \frac{2}{1 - x}$
Это и есть искомая обратная функция.
Ответ: $y = \frac{2}{1 - x}$

б) Для нахождения обратной функции к $y = \frac{x-1}{x+1}$ поменяем местами переменные $x$ и $y$ и выразим $y$ через $x$.
Исходная функция: $y = \frac{x-1}{x+1}$.
Поменяем переменные $x$ и $y$ местами:
$x = \frac{y-1}{y+1}$
Решим уравнение относительно $y$:
$x(y+1) = y-1$
$xy + x = y-1$
$xy - y = -x-1$
$y(x-1) = -(x+1)$
$y = \frac{-(x+1)}{x-1} = \frac{x+1}{1-x}$
Это и есть искомая обратная функция.
Ответ: $y = \frac{x+1}{1-x}$

в) Для нахождения обратной функции к $y = \frac{3}{x} - 12$ поменяем местами переменные $x$ и $y$ и выразим $y$ через $x$.
Исходная функция: $y = \frac{3}{x} - 12$.
Поменяем переменные $x$ и $y$ местами:
$x = \frac{3}{y} - 12$
Решим уравнение относительно $y$:
$x + 12 = \frac{3}{y}$
$y(x+12) = 3$
$y = \frac{3}{x+12}$
Это и есть искомая обратная функция.
Ответ: $y = \frac{3}{x+12}$

г) Для нахождения обратной функции к $y = \frac{4x}{12x+5}$ поменяем местами переменные $x$ и $y$ и выразим $y$ через $x$.
Исходная функция: $y = \frac{4x}{12x+5}$.
Поменяем переменные $x$ и $y$ местами:
$x = \frac{4y}{12y+5}$
Решим уравнение относительно $y$:
$x(12y+5) = 4y$
$12xy + 5x = 4y$
$12xy - 4y = -5x$
$y(12x - 4) = -5x$
$y = \frac{-5x}{12x-4}$ или $y = \frac{5x}{4-12x}$
Это и есть искомая обратная функция.
Ответ: $y = \frac{-5x}{12x-4}$

7.43. a) $y = \sqrt{x} + 5;$

Б) $y = 1 - 2\sqrt{3 - x};$

В) $y = 2 - \sqrt{x + 3};$

Г) $y = -1 + 2\sqrt{-5 - 10x}.$

а) $y = \sqrt{x + 5}$

Чтобы найти область определения функции (D(y)), необходимо, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным.
$x + 5 \ge 0$
$x \ge -5$
Следовательно, область определения: $D(y) = [-5; +\infty)$.

Чтобы найти область значений функции (E(y)), проанализируем выражение. Квадратный корень всегда возвращает неотрицательное значение.
$\sqrt{x + 5} \ge 0$
Таким образом, $y \ge 0$.
Следовательно, область значений: $E(y) = [0; +\infty)$.

Ответ: Область определения $D(y) = [-5; +\infty)$; область значений $E(y) = [0; +\infty)$.

б) $y = 1 - 2\sqrt{3 - x}$

Область определения (D(y)): подкоренное выражение должно быть неотрицательным.
$3 - x \ge 0$
$x \le 3$
Область определения: $D(y) = (-\infty; 3]$.

Область значений (E(y)):
Так как $\sqrt{3 - x} \ge 0$, то умножив на $-2$, получим (знак неравенства изменится на противоположный):
$-2\sqrt{3 - x} \le 0$
Теперь прибавим $1$ к обеим частям:
$1 - 2\sqrt{3 - x} \le 1$
То есть, $y \le 1$.
Область значений: $E(y) = (-\infty; 1]$.

Ответ: Область определения $D(y) = (-\infty; 3]$; область значений $E(y) = (-\infty; 1]$.

в) $y = 2 - \sqrt{x + 3}$

Область определения (D(y)): подкоренное выражение должно быть неотрицательно.
$x + 3 \ge 0$
$x \ge -3$
Область определения: $D(y) = [-3; +\infty)$.

Область значений (E(y)):
Так как $\sqrt{x + 3} \ge 0$, то умножив на $-1$, получим:
$-\sqrt{x + 3} \le 0$
Прибавим $2$ к обеим частям:
$2 - \sqrt{x + 3} \le 2$
То есть, $y \le 2$.
Область значений: $E(y) = (-\infty; 2]$.

Ответ: Область определения $D(y) = [-3; +\infty)$; область значений $E(y) = (-\infty; 2]$.

г) $y = -1 + 2\sqrt{-5 - 10x}$

Область определения (D(y)): подкоренное выражение должно быть неотрицательно.
$-5 - 10x \ge 0$
$-10x \ge 5$
$x \le -\frac{5}{10}$
$x \le -0.5$
Область определения: $D(y) = (-\infty; -0.5]$.

Область значений (E(y)):
Так как $\sqrt{-5 - 10x} \ge 0$, то умножив на $2$, получим:
$2\sqrt{-5 - 10x} \ge 0$
Прибавим $-1$ к обеим частям:
$-1 + 2\sqrt{-5 - 10x} \ge -1$
То есть, $y \ge -1$.
Область значений: $E(y) = [-1; +\infty)$.

Ответ: Область определения $D(y) = (-\infty; -0.5]$; область значений $E(y) = [-1; +\infty)$.

7.44. а) $y = 2 + \frac{x}{|x|}$;

б) $y = x^2 + 2x - \frac{x}{|x|}$;

в) $y = 2x - \frac{x}{|x|}$;

г) $y = x^2 - 2x + \frac{x + 1}{|x + 1|}$.

а) $y = 2 + \frac{x}{|x|}$

Область определения функции: $x \neq 0$, так как знаменатель не может быть равен нулю. Рассмотрим два случая в зависимости от знака $x$.

1. Если $x > 0$, то $|x| = x$. Функция принимает вид:$y = 2 + \frac{x}{x} = 2 + 1 = 3$.Это луч, параллельный оси Ox, начинающийся в точке $(0, 3)$ (точка выколота) и идущий вправо.

2. Если $x < 0$, то $|x| = -x$. Функция принимает вид:$y = 2 + \frac{x}{-x} = 2 - 1 = 1$.Это луч, параллельный оси Ox, начинающийся в точке $(0, 1)$ (точка выколота) и идущий влево.

Таким образом, функция является кусочно-постоянной.

Ответ: $y = \begin{cases} 3, & \text{если } x > 0 \\ 1, & \text{если } x < 0 \end{cases}$. График состоит из двух лучей: $y=3$ при $x>0$ и $y=1$ при $x<0$.

б) $y = x^2 + 2x - \frac{x}{|x|}$

Область определения функции: $x \neq 0$. Раскроем модуль для двух случаев.

1. Если $x > 0$, то $|x| = x$. Функция принимает вид:$y = x^2 + 2x - \frac{x}{x} = x^2 + 2x - 1$.Это парабола, ветви которой направлены вверх. Вершина параболы находится в точке $x_v = -\frac{2}{2 \cdot 1} = -1$. Так как мы рассматриваем интервал $x > 0$, вершина не входит в эту часть графика. На этом интервале функция возрастает. График начинается с выколотой точки $(0, -1)$.

2. Если $x < 0$, то $|x| = -x$. Функция принимает вид:$y = x^2 + 2x - \frac{x}{-x} = x^2 + 2x + 1 = (x+1)^2$.Это парабола, ветви которой направлены вверх. Вершина параболы находится в точке $x_v = -1$, $y_v = (-1+1)^2 = 0$. Точка $(-1, 0)$ является вершиной этой части графика. График приближается к выколотой точке $(0, 1)$.

Ответ: $y = \begin{cases} x^2 + 2x - 1, & \text{если } x > 0 \\ (x+1)^2, & \text{если } x < 0 \end{cases}$. График состоит из двух частей парабол.

в) $y = 2x - \frac{x}{|x|}$

Область определения функции: $x \neq 0$. Раскроем модуль для двух случаев.

1. Если $x > 0$, то $|x| = x$. Функция принимает вид:$y = 2x - \frac{x}{x} = 2x - 1$.Это луч, выходящий из выколотой точки $(0, -1)$ и идущий вправо вверх.

2. Если $x < 0$, то $|x| = -x$. Функция принимает вид:$y = 2x - \frac{x}{-x} = 2x - (-1) = 2x + 1$.Это луч, идущий из минус бесконечности и приближающийся к выколотой точке $(0, 1)$.

Ответ: $y = \begin{cases} 2x - 1, & \text{если } x > 0 \\ 2x + 1, & \text{если } x < 0 \end{cases}$. График состоит из двух лучей, параллельных друг другу.

г) $y = x^2 - 2x + \frac{x+1}{|x+1|}$

Область определения функции: $x+1 \neq 0$, то есть $x \neq -1$. Раскроем модуль в зависимости от знака выражения $x+1$.

1. Если $x+1 > 0$, то есть $x > -1$, то $|x+1| = x+1$. Функция принимает вид:$y = x^2 - 2x + \frac{x+1}{x+1} = x^2 - 2x + 1 = (x-1)^2$.Это часть параболы с вершиной в точке $(1, 0)$. Поскольку $1 > -1$, вершина принадлежит этой части графика. График начинается с выколотой точки $(-1, (-1-1)^2) = (-1, 4)$.

2. Если $x+1 < 0$, то есть $x < -1$, то $|x+1| = -(x+1)$. Функция принимает вид:$y = x^2 - 2x + \frac{x+1}{-(x+1)} = x^2 - 2x - 1$.Это часть параболы, ветви которой направлены вверх. Вершина параболы $y = x^2 - 2x - 1$ находится в точке $x_v = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = 1$. Так как мы рассматриваем интервал $x < -1$, вершина не входит в эту часть графика. На этом интервале функция убывает. График приближается к выколотой точке $(-1, (-1)^2 - 2(-1) - 1) = (-1, 1+2-1) = (-1, 2)$.

Ответ: $y = \begin{cases} (x-1)^2, & \text{если } x > -1 \\ x^2 - 2x - 1, & \text{если } x < -1 \end{cases}$. График состоит из двух частей парабол с разрывом в точке $x = -1$.

•7.45. Найдите область значений функции y = f(x), если:

a) $f(x) = \frac{|x|}{x} + \frac{|x-1|}{x-1} + \frac{|x-2|}{x-2} + \frac{|x-3|}{x-3};$

б) $f(x) = \frac{|x|}{x} - \frac{|x-1|}{x-1} + \frac{|x-2|}{x-2} - \frac{|x-3|}{x-3}.$

а) Для нахождения области значений функции $f(x) = \frac{|x|}{x} + \frac{|x-1|}{x-1} + \frac{|x-2|}{x-2} + \frac{|x-3|}{x-3}$ необходимо проанализировать ее поведение на различных интервалах. Область определения функции (ОДЗ): $x \neq 0, x \neq 1, x \neq 2, x \neq 3$. Эти точки разбивают числовую прямую на 5 интервалов. Каждое слагаемое вида $\frac{|a|}{a}$ равно $1$, если $a > 0$, и $-1$, если $a < 0$.

Рассмотрим каждый интервал:

1. Если $x < 0$, то $x < 0$, $x-1 < 0$, $x-2 < 0$, $x-3 < 0$.
   $f(x) = (-1) + (-1) + (-1) + (-1) = -4$.
2. Если $0 < x < 1$, то $x > 0$, но $x-1 < 0$, $x-2 < 0$, $x-3 < 0$.
   $f(x) = 1 + (-1) + (-1) + (-1) = -2$.
3. Если $1 < x < 2$, то $x > 0$, $x-1 > 0$, но $x-2 < 0$, $x-3 < 0$.
   $f(x) = 1 + 1 + (-1) + (-1) = 0$.
4. Если $2 < x < 3$, то $x > 0$, $x-1 > 0$, $x-2 > 0$, но $x-3 < 0$.
   $f(x) = 1 + 1 + 1 + (-1) = 2$.
5. Если $x > 3$, то все выражения в знаменателях положительны: $x > 0$, $x-1 > 0$, $x-2 > 0$, $x-3 > 0$.
   $f(x) = 1 + 1 + 1 + 1 = 4$.

Функция является кусочно-постоянной и принимает только перечисленные значения.
Ответ: $E(f) = \{-4, -2, 0, 2, 4\}$.

б) Для функции $f(x) = \frac{|x|}{x} - \frac{|x-1|}{x-1} + \frac{|x-2|}{x-2} - \frac{|x-3|}{x-3}$ область определения и интервалы для анализа те же, что и в пункте а).

Рассмотрим значения функции на этих интервалах:

1. Если $x < 0$:
   $f(x) = (-1) - (-1) + (-1) - (-1) = -1 + 1 - 1 + 1 = 0$.
2. Если $0 < x < 1$:
   $f(x) = 1 - (-1) + (-1) - (-1) = 1 + 1 - 1 + 1 = 2$.
3. Если $1 < x < 2$:
   $f(x) = 1 - 1 + (-1) - (-1) = 1 - 1 - 1 + 1 = 0$.
4. Если $2 < x < 3$:
   $f(x) = 1 - 1 + 1 - (-1) = 1 - 1 + 1 + 1 = 2$.
5. Если $x > 3$:
   $f(x) = 1 - 1 + 1 - 1 = 0$.

Функция принимает только два значения: 0 и 2.
Ответ: $E(f) = \{0, 2\}$.

7.46. a) Докажите, что все значения функции $y = 5x + 3$ положительны в окрестности точки $0$ (см. упражнение $4.21$) радиусом $0,2$.

б) Докажите, что в $0,5$-окрестности точки $-1$ (см. упражнение $4.21$) найдутся как положительные, так и отрицательные значения функции $y = 5x + 3$.

а)

Требуется доказать, что все значения функции $y = 5x + 3$ являются положительными в окрестности точки $0$ радиусом $0,2$.

Окрестность точки $x_0 = 0$ радиусом $r = 0,2$ — это открытый интервал $(x_0 - r, x_0 + r)$, то есть $(0 - 0,2, 0 + 0,2)$, что соответствует интервалу $(-0,2, 0,2)$.

Это означает, что переменная $x$ удовлетворяет двойному неравенству:
$-0,2 < x < 0,2$

Чтобы найти, в каком диапазоне находятся значения функции $y$, выполним преобразования с этим неравенством. Сначала умножим все его части на 5. Поскольку 5 — положительное число, знаки неравенства сохраняются:
$5 \cdot (-0,2) < 5x < 5 \cdot 0,2$
$-1 < 5x < 1$

Теперь прибавим 3 ко всем частям неравенства:
$-1 + 3 < 5x + 3 < 1 + 3$
$2 < 5x + 3 < 4$

Так как $y = 5x + 3$, мы получили, что для всех $x$ из указанной окрестности значения функции $y$ лежат в интервале $(2, 4)$.
$2 < y < 4$

Любое число из интервала $(2, 4)$ является положительным. Следовательно, все значения функции в окрестности точки 0 радиусом 0,2 положительны, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано. В указанной окрестности значения $x$ лежат в интервале $(-0,2, 0,2)$, что приводит к значениям функции $y$ в интервале $(2, 4)$. Все эти значения положительны.

б)

Требуется доказать, что в 0,5-окрестности точки $-1$ существуют как положительные, так и отрицательные значения функции $y = 5x + 3$.

0,5-окрестность точки $x_0 = -1$ — это открытый интервал $(-1 - 0,5, -1 + 0,5)$, что соответствует интервалу $(-1,5, -0,5)$.

Чтобы доказать утверждение, достаточно найти в этом интервале одну точку, где функция принимает положительное значение, и другую, где она принимает отрицательное значение.

Найдем точку, в которой функция меняет знак, то есть ее корень (где $y = 0$):
$5x + 3 = 0$
$5x = -3$
$x = -3/5 = -0,6$

Проверим, принадлежит ли точка $x = -0,6$ нашему интервалу $(-1,5, -0,5)$. Так как $-1,5 < -0,6 < -0,5$, точка принадлежит окрестности.

Поскольку корень функции находится внутри рассматриваемого интервала, это означает, что при переходе через точку $x = -0,6$ функция меняет знак. Функция $y = 5x+3$ является возрастающей, значит:
- для $x > -0,6$ значения функции будут положительными.
- для $x < -0,6$ значения функции будут отрицательными.

Приведем конкретные примеры:
1. Возьмем точку $x_1$ из интервала так, чтобы $x_1 > -0,6$. Например, $x_1 = -0,55$. Эта точка принадлежит окрестности $(-1,5, -0,5)$. Найдем значение функции:
$y(-0,55) = 5(-0,55) + 3 = -2,75 + 3 = 0,25$.
Значение $0,25$ положительное.
2. Возьмем точку $x_2$ из интервала так, чтобы $x_2 < -0,6$. Например, $x_2 = -1$. Эта точка также принадлежит окрестности $(-1,5, -0,5)$. Найдем значение функции:
$y(-1) = 5(-1) + 3 = -5 + 3 = -2$.
Значение $-2$ отрицательное.

Мы нашли в 0,5-окрестности точки -1 как положительное, так и отрицательное значение функции. Утверждение доказано.

Ответ: Доказано. В окрестности $(-1,5, -0,5)$ корень функции $x=-0,6$ разделяет интервал на две части, где функция принимает значения разных знаков. Например, при $x = -0,55$ имеем $y = 0,25 > 0$, а при $x = -1$ имеем $y = -2 < 0$.

7.47. Пусть область значений функции $y = f(x)$ есть отрезок $[-3; 5]$. Найдите множество значений функции:

a) $y = (f(x))^2$;

б) $y = |f(x)|$;

в) $y = (f(x))^3$;

г) $y = \sqrt{4 + f(x)}$.

По условию задачи, область значений функции $y = f(x)$ — это отрезок $[-3; 5]$. Это означает, что для любого значения $z$ из этого отрезка ($ -3 \le z \le 5 $) существует такое $x$, что $f(x)=z$. Чтобы найти область значений преобразованных функций, мы будем рассматривать, какие значения они принимают, когда их аргумент $f(x)$ пробегает все значения от -3 до 5.

а) $y = (f(x))^2$

Пусть $z = f(x)$, тогда $-3 \le z \le 5$. Нам нужно найти множество значений функции $y = z^2$ для $z \in [-3; 5]$.

Функция $g(z) = z^2$ неотрицательна, то есть $y \ge 0$. Так как отрезок $[-3; 5]$ содержит точку $z=0$, наименьшее значение функции будет равно $0^2 = 0$.

Наибольшее значение функции на отрезке достигается на одном из его концов. Найдем значения на концах отрезка:

• При $z = -3$, $y = (-3)^2 = 9$.
• При $z = 5$, $y = 5^2 = 25$.

Сравнивая эти значения, видим, что наибольшее значение равно 25. Таким образом, множество значений функции $y$ — это все числа от 0 до 25 включительно.

Ответ: $[0; 25]$.

б) $y = |f(x)|$

Пусть $z = f(x)$, тогда $-3 \le z \le 5$. Нам нужно найти множество значений функции $y = |z|$ для $z \in [-3; 5]$.

Функция $y = |z|$ по определению неотрицательна. Наименьшее значение достигается при $z=0$, которое принадлежит отрезку $[-3; 5]$. Следовательно, наименьшее значение функции $y$ равно $|0| = 0$.

Наибольшее значение модуля на отрезке будет равно наибольшему из модулей его концов:

• $|-3| = 3$
• $|5| = 5$

Наибольшее значение равно 5. Таким образом, множество значений функции $y$ — это все числа от 0 до 5 включительно.

Ответ: $[0; 5]$.

в) $y = (f(x))^3$

Пусть $z = f(x)$, тогда $-3 \le z \le 5$. Нам нужно найти множество значений функции $y = z^3$ для $z \in [-3; 5]$.

Функция $g(z) = z^3$ является монотонно возрастающей на всей числовой прямой. Это значит, что для отрезка $[-3; 5]$ наименьшее значение будет при $z=-3$, а наибольшее — при $z=5$.

• Наименьшее значение: $y = (-3)^3 = -27$.
• Наибольшее значение: $y = 5^3 = 125$.

Таким образом, множество значений функции $y$ — это все числа от -27 до 125 включительно.

Ответ: $[-27; 125]$.

г) $y = \sqrt{4 + f(x)}$

Пусть $z = f(x)$, тогда $-3 \le z \le 5$. Нам нужно найти множество значений функции $y = \sqrt{4 + z}$ для $z \in [-3; 5]$.

Во-первых, убедимся, что функция определена для всех $z \in [-3; 5]$. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $4 + z \ge 0$, что означает $z \ge -4$. Весь отрезок $[-3; 5]$ удовлетворяет этому условию.

Функция $g(z) = \sqrt{4 + z}$ является монотонно возрастающей на всей своей области определения, а значит и на отрезке $[-3; 5]$. Следовательно, наименьшее и наибольшее значения будут достигаться на концах этого отрезка.

• Наименьшее значение: при $z = -3$, $y = \sqrt{4 + (-3)} = \sqrt{1} = 1$.
• Наибольшее значение: при $z = 5$, $y = \sqrt{4 + 5} = \sqrt{9} = 3$.

Таким образом, множество значений функции $y$ — это все числа от 1 до 3 включительно.

Ответ: $[1; 3]$.

7.48. Пусть область значений функции $y = f(x)$ есть отрезок $[-3; 5]$. Найдите множество значений функции:

a) $y = f(x + 5)$;

б) $y = 5 - f(x + 5)$;

в) $y = 5 - f(x)$;

г) $y = a - f(x + b)$.

По условию, область значений функции $y = f(x)$ есть отрезок $[-3; 5]$. Это означает, что для любого значения $x$ из области определения функции выполняется двойное неравенство:

$-3 \le f(x) \le 5$

Мы будем использовать это неравенство для нахождения множества значений для каждой из предложенных функций.

а) $y = f(x + 5)$

Преобразование аргумента функции $x \rightarrow x+5$ соответствует сдвигу графика функции $y=f(x)$ вдоль оси абсцисс (горизонтально) на 5 единиц влево. Такое преобразование не изменяет ординаты точек графика, а значит, и множество значений функции остается прежним.

Таким образом, область значений функции $y = f(x+5)$ совпадает с областью значений функции $y=f(x)$.

Ответ: $[-3; 5]$.

б) $y = 5 - f(x + 5)$

Найдем область значений этой функции, выполняя последовательные преобразования исходного неравенства.

1. Как мы выяснили в пункте а), область значений функции $g(x) = f(x+5)$ также является отрезком $[-3; 5]$. То есть, $-3 \le f(x+5) \le 5$.

2. Умножим все части неравенства на $-1$. При этом знаки неравенства изменятся на противоположные:

$(-1) \cdot (-3) \ge (-1) \cdot f(x+5) \ge (-1) \cdot 5$

$3 \ge -f(x+5) \ge -5$

Запишем это в более привычном виде (от меньшего к большему):

$-5 \le -f(x+5) \le 3$

3. Прибавим 5 ко всем частям неравенства, чтобы получить итоговое выражение:

$5 - 5 \le 5 - f(x+5) \le 5 + 3$

$0 \le 5 - f(x+5) \le 8$

Следовательно, область значений функции $y = 5 - f(x+5)$ — это отрезок $[0; 8]$.

Ответ: $[0; 8]$.

в) $y = 5 - f(x)$

Решение полностью аналогично пункту б), но применяется к исходной функции $f(x)$.

1. Исходная область значений $f(x)$:

$-3 \le f(x) \le 5$

2. Умножаем на $-1$ и меняем знаки неравенства:

$3 \ge -f(x) \ge -5$, что эквивалентно $-5 \le -f(x) \le 3$.

3. Прибавляем 5 ко всем частям:

$5 - 5 \le 5 - f(x) \le 5 + 3$

$0 \le 5 - f(x) \le 8$

Таким образом, область значений функции $y = 5 - f(x)$ — это отрезок $[0; 8]$.

Ответ: $[0; 8]$.

г) $y = a - f(x + b)$

Это обобщенный случай, где $a$ и $b$ — некоторые параметры. Рассуждаем аналогично предыдущим пунктам.

1. Область значений $f(x)$ — это $[-3; 5]$, то есть $-3 \le f(x) \le 5$.

2. Сдвиг по оси $x$ на $b$ не меняет область значений, поэтому для $f(x+b)$ также верно:

$-3 \le f(x+b) \le 5$

3. Умножаем на $-1$, меняя знаки неравенства:

$3 \ge -f(x+b) \ge -5$, или $-5 \le -f(x+b) \le 3$.

4. Прибавляем параметр $a$ ко всем частям неравенства:

$a - 5 \le a - f(x+b) \le a + 3$

Следовательно, искомое множество значений — это отрезок $[a-5; a+3]$.

Ответ: $[a-5; a+3]$.