Номер 7.42, страница 50, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

7.42. а) $y = 1 - \frac{2}{x}$;

б) $y = \frac{x-1}{x+1}$;

в) $y = \frac{3}{x} - 12$;

г) $y = \frac{4x}{12x+5}$.

а) Для нахождения обратной функции к $y = 1 - \frac{2}{x}$ необходимо выразить $x$ через $y$. В полученной формуле $x = f(y)$ нужно поменять переменные местами, чтобы получить обратную функцию в стандартном виде $y = f^{-1}(x)$.
Исходная функция: $y = 1 - \frac{2}{x}$.
Поменяем переменные $x$ и $y$ местами:
$x = 1 - \frac{2}{y}$
Теперь решим это уравнение относительно $y$:
$x - 1 = -\frac{2}{y}$
$1 - x = \frac{2}{y}$
$y(1 - x) = 2$
$y = \frac{2}{1 - x}$
Это и есть искомая обратная функция.
Ответ: $y = \frac{2}{1 - x}$

б) Для нахождения обратной функции к $y = \frac{x-1}{x+1}$ поменяем местами переменные $x$ и $y$ и выразим $y$ через $x$.
Исходная функция: $y = \frac{x-1}{x+1}$.
Поменяем переменные $x$ и $y$ местами:
$x = \frac{y-1}{y+1}$
Решим уравнение относительно $y$:
$x(y+1) = y-1$
$xy + x = y-1$
$xy - y = -x-1$
$y(x-1) = -(x+1)$
$y = \frac{-(x+1)}{x-1} = \frac{x+1}{1-x}$
Это и есть искомая обратная функция.
Ответ: $y = \frac{x+1}{1-x}$

в) Для нахождения обратной функции к $y = \frac{3}{x} - 12$ поменяем местами переменные $x$ и $y$ и выразим $y$ через $x$.
Исходная функция: $y = \frac{3}{x} - 12$.
Поменяем переменные $x$ и $y$ местами:
$x = \frac{3}{y} - 12$
Решим уравнение относительно $y$:
$x + 12 = \frac{3}{y}$
$y(x+12) = 3$
$y = \frac{3}{x+12}$
Это и есть искомая обратная функция.
Ответ: $y = \frac{3}{x+12}$

г) Для нахождения обратной функции к $y = \frac{4x}{12x+5}$ поменяем местами переменные $x$ и $y$ и выразим $y$ через $x$.
Исходная функция: $y = \frac{4x}{12x+5}$.
Поменяем переменные $x$ и $y$ местами:
$x = \frac{4y}{12y+5}$
Решим уравнение относительно $y$:
$x(12y+5) = 4y$
$12xy + 5x = 4y$
$12xy - 4y = -5x$
$y(12x - 4) = -5x$
$y = \frac{-5x}{12x-4}$ или $y = \frac{5x}{4-12x}$
Это и есть искомая обратная функция.
Ответ: $y = \frac{-5x}{12x-4}$