Номер 7.38, страница 49, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

7.38. Найдите все значения параметра $a$, при которых областью определения функции $y = \sqrt{x - 3} + \sqrt{ax + 4}$ будет:

а) луч;

б) отрезок;

в) единственное число (единственная точка);

г) пустое множество.

Область определения функции $y = \sqrt{x - 3} + \sqrt{ax + 4}$ находится из системы неравенств, при которой подкоренные выражения неотрицательны:

$$\begin{cases}x - 3 \ge 0 \\ax + 4 \ge 0\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}x \ge 3 \\ax \ge -4\end{cases}$$

Решение этой системы зависит от знака параметра $a$. Рассмотрим все возможные случаи.

Случай 1: $a > 0$

Разделим второе неравенство на $a > 0$, знак неравенства при этом не изменится: $x \ge -4/a$. Система примет вид:

$$\begin{cases}x \ge 3 \\x \ge -4/a\end{cases}$$

Так как $a > 0$, то $-4/a < 0$, а значит $-4/a < 3$. Решением системы является пересечение двух лучей $[3, +\infty)$ и $[-4/a, +\infty)$, что дает луч $[3, +\infty)$.

Случай 2: $a = 0$

Второе неравенство системы примет вид $0 \cdot x \ge -4$, то есть $0 \ge -4$. Это неравенство является верным для любого значения $x$. Следовательно, область определения функции совпадает с решением первого неравенства системы, то есть является лучом $[3, +\infty)$.

Случай 3: $a < 0$

Разделим второе неравенство на $a < 0$, при этом знак неравенства изменится на противоположный: $x \le -4/a$. Система примет вид:

$$\begin{cases}x \ge 3 \\x \le -4/a\end{cases}$$

Решением этой системы является пересечение множеств $[3, +\infty)$ и $(-\infty, -4/a]$. Результат пересечения зависит от взаимного расположения точек $3$ и $-4/a$.

1. Если $3 < -4/a$, решением будет отрезок $[3, -4/a]$. Умножим неравенство на $a < 0$ (меняя знак неравенства): $3a > -4$, откуда $a > -4/3$. Учитывая условие $a < 0$, получаем, что область определения является отрезком при $-4/3 < a < 0$.

2. Если $3 = -4/a$, решением будет единственное число $x = 3$. Это равенство равносильно $3a = -4$, то есть $a = -4/3$.

3. Если $3 > -4/a$, система не имеет решений, и область определения — пустое множество. Умножим неравенство на $a < 0$ (меняя знак неравенства): $3a < -4$, откуда $a < -4/3$.

На основе этого анализа найдем значения параметра $a$ для каждого пункта.

а) луч

Область определения является лучом в случаях 1 ($a > 0$) и 2 ($a = 0$). Объединяя эти условия, получаем, что область определения является лучом при $a \ge 0$.

Ответ: $a \ge 0$.

б) отрезок

Область определения является отрезком, как показано в разборе случая 3, когда левая граница $3$ строго меньше правой $-4/a$. Это выполняется при $-4/3 < a < 0$.

Ответ: $a \in (-4/3; 0)$.

в) единственное число (единственная точка)

Область определения состоит из одного числа, когда в случае 3 границы совпадают: $3 = -4/a$. Это происходит при $a = -4/3$.

Ответ: $a = -4/3$.

г) пустое множество

Область определения является пустым множеством, когда в случае 3 система не имеет решений. Это происходит, когда $3 > -4/a$, что равносильно $a < -4/3$.

Ответ: $a \in (-\infty; -4/3)$.