Номер 7.32, страница 48, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

7.32. Пусть $f(x) = 2 - \sqrt{1 - x}$; $g(x) = \frac{1 + 2x}{3 + x}$. Найдите область определения функции:

a) $y = f(x) + g(x)$;

б) $y = f(x) - g(x)$;

В) $y = \frac{f(x)}{g(x)}$;

Г) $y = \frac{g(x)}{f(x)}$.

Для решения задачи сначала найдем области определения для каждой из исходных функций $f(x)$ и $g(x)$.

1. Функция $f(x) = 2 - \sqrt{1 - x}$.

Область определения этой функции ограничена условием, что выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным:

$1 - x \ge 0$

Решая неравенство, получаем:

$x \le 1$

Таким образом, область определения функции $f(x)$, обозначаемая как $D(f)$, есть промежуток $D(f) = (-\infty, 1]$.

2. Функция $g(x) = \frac{1 + 2x}{3 + x}$.

Это дробно-рациональная функция, ее область определения ограничена условием, что знаменатель не должен быть равен нулю:

$3 + x \ne 0$

Отсюда:

$x \ne -3$

Следовательно, область определения функции $g(x)$, обозначаемая как $D(g)$, есть объединение промежутков $D(g) = (-\infty, -3) \cup (-3, +\infty)$.

Теперь найдем области определения для каждой из сложных функций.

а) $y = f(x) + g(x)$

Область определения суммы двух функций является пересечением их областей определения: $D(y) = D(f) \cap D(g)$.

Нам нужно найти пересечение множеств $(-\infty, 1]$ и $(-\infty, -3) \cup (-3, +\infty)$.

Это множество всех действительных чисел, которые не превосходят 1, за исключением числа -3.

Таким образом, область определения $D(y) = (-\infty, -3) \cup (-3, 1]$.

Ответ: $D(y) = (-\infty, -3) \cup (-3, 1]$.

б) $y = f(x) - g(x)$

Область определения разности двух функций также является пересечением их областей определения: $D(y) = D(f) \cap D(g)$.

Решение и результат полностью совпадают с пунктом а).

Область определения $D(y) = (-\infty, -3) \cup (-3, 1]$.

Ответ: $D(y) = (-\infty, -3) \cup (-3, 1]$.

в) $y = \frac{f(x)}{g(x)}$

Область определения частного двух функций является пересечением их областей определения, из которого исключены точки, где знаменатель $g(x)$ равен нулю.

То есть, $D(y) = \{x \mid x \in D(f) \cap D(g) \text{ и } g(x) \ne 0\}$.

Пересечение $D(f) \cap D(g)$ мы уже нашли: $(-\infty, -3) \cup (-3, 1]$.

Теперь найдем значения $x$, при которых $g(x) = 0$:

$g(x) = 0 \implies \frac{1 + 2x}{3 + x} = 0$

Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.

$1 + 2x = 0 \implies 2x = -1 \implies x = -0.5$

Точка $x = -0.5$ принадлежит множеству $(-\infty, -3) \cup (-3, 1]$, поэтому ее необходимо исключить.

В результате получаем область определения $D(y) = (-\infty, -3) \cup (-3, -0.5) \cup (-0.5, 1]$.

Ответ: $D(y) = (-\infty, -3) \cup (-3, -0.5) \cup (-0.5, 1]$.

г) $y = \frac{g(x)}{f(x)}$

Область определения этого частного также является пересечением областей определения $f(x)$ и $g(x)$, из которого исключены точки, где знаменатель $f(x)$ равен нулю.

То есть, $D(y) = \{x \mid x \in D(f) \cap D(g) \text{ и } f(x) \ne 0\}$.

Пересечение $D(f) \cap D(g)$ есть $(-\infty, -3) \cup (-3, 1]$.

Теперь найдем значения $x$, при которых $f(x) = 0$:

$f(x) = 0 \implies 2 - \sqrt{1 - x} = 0$

$\sqrt{1 - x} = 2$

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$1 - x = 4$

$x = 1 - 4 \implies x = -3$

Значение $x = -3$ должно быть исключено из области определения. Однако это значение уже исключено из пересечения $D(f) \cap D(g)$. Таким образом, никаких новых ограничений не добавляется.

Область определения $D(y) = (-\infty, -3) \cup (-3, 1]$.

Ответ: $D(y) = (-\infty, -3) \cup (-3, 1]$.