Номер 7.29, страница 47, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

7.29. Пусть $f(x) = \frac{3x+2}{x-2}$. Найдите:

а) $f\left(\frac{1}{x}\right)$;

б) $f(2x - 1)$;

в) $f(f(5))$;

г) $f(f(x))$.

а) Чтобы найти $f(\frac{1}{x})$, необходимо подставить выражение $\frac{1}{x}$ вместо переменной $x$ в формулу функции $f(x) = \frac{3x + 2}{x - 2}$.
$f(\frac{1}{x}) = \frac{3(\frac{1}{x}) + 2}{(\frac{1}{x}) - 2}$
Теперь упростим полученное многоэтажное дробное выражение. Для этого приведем к общему знаменателю выражения в числителе и знаменателе основной дроби:
$f(\frac{1}{x}) = \frac{\frac{3}{x} + \frac{2x}{x}}{\frac{1}{x} - \frac{2x}{x}} = \frac{\frac{3 + 2x}{x}}{\frac{1 - 2x}{x}}$
Сократим общий знаменатель $x$ (при условии, что $x \ne 0$):
$f(\frac{1}{x}) = \frac{3 + 2x}{1 - 2x}$
Ответ: $\frac{2x + 3}{1 - 2x}$.

б) Чтобы найти $f(2x - 1)$, подставим выражение $2x - 1$ вместо переменной $x$ в исходную функцию:
$f(2x - 1) = \frac{3(2x - 1) + 2}{(2x - 1) - 2}$
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые в числителе и знаменателе:
$f(2x - 1) = \frac{6x - 3 + 2}{2x - 1 - 2} = \frac{6x - 1}{2x - 3}$
Ответ: $\frac{6x - 1}{2x - 3}$.

в) Выражение $f(f(5))$ представляет собой композицию функций. Сначала найдем значение внутренней функции $f(5)$:
$f(5) = \frac{3(5) + 2}{5 - 2} = \frac{15 + 2}{3} = \frac{17}{3}$
Теперь найденное значение $\frac{17}{3}$ подставим в качестве аргумента в функцию $f(x)$:
$f(f(5)) = f(\frac{17}{3}) = \frac{3(\frac{17}{3}) + 2}{\frac{17}{3} - 2}$
Упростим полученное выражение:
$f(\frac{17}{3}) = \frac{17 + 2}{\frac{17}{3} - \frac{6}{3}} = \frac{19}{\frac{11}{3}} = 19 \cdot \frac{3}{11} = \frac{57}{11}$
Ответ: $\frac{57}{11}$.

г) Чтобы найти $f(f(x))$, подставим в функцию $f(x)$ вместо аргумента $x$ саму функцию $f(x)=\frac{3x+2}{x-2}$:
$f(f(x)) = f\left(\frac{3x + 2}{x - 2}\right) = \frac{3\left(\frac{3x + 2}{x - 2}\right) + 2}{\left(\frac{3x + 2}{x - 2}\right) - 2}$
Приведем к общему знаменателю $(x-2)$ выражения в числителе и знаменателе основной дроби:
$f(f(x)) = \frac{\frac{3(3x + 2) + 2(x - 2)}{x - 2}}{\frac{(3x + 2) - 2(x - 2)}{x - 2}}$
Раскроем скобки и упростим выражения в числителе и знаменателе:
$f(f(x)) = \frac{\frac{9x + 6 + 2x - 4}{x - 2}}{\frac{3x + 2 - 2x + 4}{x - 2}} = \frac{\frac{11x + 2}{x - 2}}{\frac{x + 6}{x - 2}}$
Сократим общий знаменатель $(x-2)$:
$f(f(x)) = \frac{11x + 2}{x + 6}$
Ответ: $\frac{11x + 2}{x + 6}$.