Номер 7.24, страница 47, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

7.24. a) $y = \sqrt{\frac{x}{x-1}}$;

б) $y = \sqrt{\frac{x-12}{x^2-16x+48}}$;

в) $y = \sqrt{\frac{-4x}{-10-x}}$;

г) $y = \sqrt{\frac{x+11}{x^2+14x+33}}$.

а) Область определения функции $y = \sqrt{\frac{x}{x-1}}$ задается условием, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $\frac{x}{x-1} \ge 0$.

Для решения этого рационального неравенства используем метод интервалов. Находим нули числителя и знаменателя.

Нуль числителя: $x = 0$.

Нуль знаменателя: $x - 1 = 0 \implies x = 1$.

Наносим точки $0$ и $1$ на числовую ось. Точка $x=0$ является решением (неравенство нестрогое), а точка $x=1$ не является решением, так как знаменатель не может быть равен нулю. Определяем знаки дроби на полученных интервалах: $(-\infty; 0)$, $(0; 1)$, $(1; +\infty)$.

При $x > 1$ (например, $x=2$) дробь $\frac{+}{+}$ положительна.

При $0 < x < 1$ (например, $x=0.5$) дробь $\frac{+}{-}$ отрицательна.

При $x < 0$ (например, $x=-1$) дробь $\frac{-}{-}$ положительна.

Нам нужны интервалы, где выражение неотрицательно. Это $(-\infty; 0]$ и $(1; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; 0] \cup (1; +\infty)$.

б) Область определения функции $y = \sqrt{\frac{x-12}{x^2 - 16x + 48}}$ задается неравенством $\frac{x-12}{x^2 - 16x + 48} \ge 0$.

Сначала разложим знаменатель на множители. Решим квадратное уравнение $x^2 - 16x + 48 = 0$. По теореме Виета, его корни $x_1 = 4$ и $x_2 = 12$. Таким образом, $x^2 - 16x + 48 = (x-4)(x-12)$.

Неравенство принимает вид: $\frac{x-12}{(x-4)(x-12)} \ge 0$.

Знаменатель не может быть равен нулю, следовательно, $x \ne 4$ и $x \ne 12$. Так как $x=12$ обращает в ноль знаменатель, эту точку нужно исключить. При $x \ne 12$ мы можем сократить дробь на $(x-12)$.

Получаем неравенство $\frac{1}{x-4} > 0$. Оно строгое, так как мы исключили случай $x=12$, при котором числитель исходной дроби равен нулю. Так как числитель $1$ положителен, для выполнения неравенства необходимо, чтобы знаменатель был также положителен: $x-4 > 0$, откуда $x > 4$.

Объединяя условия $x > 4$ и $x \ne 12$, получаем итоговую область определения.

Ответ: $x \in (4; 12) \cup (12; +\infty)$.

в) Область определения функции $y = \sqrt{\frac{-4x}{-10-x}}$ задается неравенством $\frac{-4x}{-10-x} \ge 0$.

Умножим числитель и знаменатель на $-1$. Знак дроби от этого не изменится: $\frac{4x}{10+x} \ge 0$.

Решим это неравенство методом интервалов. Нули числителя и знаменателя:

Нуль числителя: $4x = 0 \implies x = 0$.

Нуль знаменателя: $10 + x = 0 \implies x = -10$.

Наносим точки $-10$ и $0$ на числовую ось. Точка $x=0$ включается в решение, точка $x=-10$ исключается (знаменатель не равен нулю).

Определяем знаки дроби на интервалах $(-\infty; -10)$, $(-10; 0)$, $(0; +\infty)$.

При $x > 0$ (например, $x=1$) дробь $\frac{+}{+}$ положительна.

При $-10 < x < 0$ (например, $x=-1$) дробь $\frac{-}{+}$ отрицательна.

При $x < -10$ (например, $x=-11$) дробь $\frac{-}{-}$ положительна.

Выбираем интервалы, где выражение неотрицательно: $(-\infty; -10)$ и $[0; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -10) \cup [0; +\infty)$.

г) Область определения функции $y = \sqrt{\frac{x+11}{x^2 + 14x + 33}}$ задается неравенством $\frac{x+11}{x^2 + 14x + 33} \ge 0$.

Разложим знаменатель на множители. Решим уравнение $x^2 + 14x + 33 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = -3$ и $x_2 = -11$. Таким образом, $x^2 + 14x + 33 = (x+3)(x+11)$.

Неравенство принимает вид: $\frac{x+11}{(x+3)(x+11)} \ge 0$.

Знаменатель не должен быть равен нулю, поэтому $x \ne -3$ и $x \ne -11$. Поскольку $x=-11$ является нулем знаменателя, эту точку необходимо исключить. При $x \ne -11$ можно сократить дробь на $(x+11)$.

Получаем неравенство $\frac{1}{x+3} > 0$. Так как числитель $1$ положителен, знаменатель также должен быть положителен: $x+3 > 0$, откуда $x > -3$.

Решение $x > -3$ автоматически удовлетворяет условиям $x \ne -3$ и $x \ne -11$.

Ответ: $x \in (-3; +\infty)$.