Номер 7.21, страница 47, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

7.21. Постройте график функции и найдите область её значений:

а) $y = 2x^2 - 1, x \in [-2; 1]$;

б) $y = \frac{x+1}{x-1}, x \in [0; +\infty)$;

в) $y = \sqrt{x+3} - 1, x \in (-2; 1]$;

г) $y = 2x^2 + 2x - 1, x \in [-1; 2]$.

а) $y = 2x^2 - 1, x \in [-2; 1]$

График функции $y = 2x^2 - 1$ — это парабола с ветвями, направленными вверх. Вершина параболы находится в точке с абсциссой $x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{0}{2 \cdot 2} = 0$. Ордината вершины $y_v = 2(0)^2 - 1 = -1$. Таким образом, вершина находится в точке $(0, -1)$.
Функция рассматривается на отрезке $x \in [-2; 1]$. Для построения графика найдем значения функции на концах этого отрезка:
При $x = -2$: $y(-2) = 2(-2)^2 - 1 = 2 \cdot 4 - 1 = 7$.
При $x = 1$: $y(1) = 2(1)^2 - 1 = 2 \cdot 1 - 1 = 1$.
График представляет собой дугу параболы, соединяющую точки $(-2, 7)$ и $(1, 1)$ и проходящую через вершину $(0, -1)$.
Для нахождения области значений (множества всех значений $y$) найдем наименьшее и наибольшее значения функции на заданном отрезке. Так как абсцисса вершины $x_v=0$ принадлежит отрезку $[-2; 1]$, то наименьшее значение функции равно ординате вершины: $y_{min} = -1$. Наибольшее значение будет на одном из концов отрезка. Сравнивая $y(-2)=7$ и $y(1)=1$, получаем $y_{max} = 7$.
Следовательно, область значений функции — это все значения от $-1$ до $7$ включительно.
Ответ: $E(y) = [-1; 7]$.

б) $y = \frac{x+1}{x-1}, x \in [0; +\infty)$

Преобразуем функцию, выделив целую часть: $y = \frac{x-1+2}{x-1} = \frac{x-1}{x-1} + \frac{2}{x-1} = 1 + \frac{2}{x-1}$.
График этой функции — гипербола, полученная из графика $y = \frac{2}{x}$ сдвигом на 1 единицу вправо по оси Ox и на 1 единицу вверх по оси Oy.
График имеет вертикальную асимптоту $x=1$ и горизонтальную асимптоту $y=1$.
Функция рассматривается на промежутке $x \in [0; +\infty)$, который включает точку разрыва $x=1$. Поэтому рассмотрим поведение функции на двух частях области определения: $[0; 1)$ и $(1; +\infty)$.
1. На промежутке $[0; 1)$:
При $x=0$, $y(0) = \frac{0+1}{0-1} = -1$.
При $x \to 1$ (слева), знаменатель $x-1$ стремится к $0$, оставаясь отрицательным, поэтому $y \to -\infty$.
На этом промежутке функция принимает все значения из $(-\infty; -1]$.
2. На промежутке $(1; +\infty)$:
При $x \to 1$ (справа), знаменатель $x-1$ стремится к $0$, оставаясь положительным, поэтому $y \to +\infty$.
При $x \to +\infty$, дробь $\frac{2}{x-1} \to 0$, поэтому $y \to 1$.
На этом промежутке функция принимает все значения из $(1; +\infty)$.
График состоит из двух ветвей: одна начинается в точке $(0, -1)$ и уходит вниз вдоль асимптоты $x=1$; вторая ветвь идет от $+\infty$ вдоль асимптоты $x=1$ и приближается к асимптоте $y=1$ при $x \to +\infty$.
Область значений функции является объединением множеств значений на этих двух промежутках.
Ответ: $E(y) = (-\infty; -1] \cup (1; +\infty)$.

в) $y = \sqrt{x+3} - 1, x \in (-2; 1]$

График функции $y = \sqrt{x+3} - 1$ — это часть ветви параболы (график квадратного корня), полученная из графика $y=\sqrt{x}$ сдвигом на 3 единицы влево по оси Ox и на 1 единицу вниз по оси Oy.
Начало "стандартной" ветви $y=\sqrt{x}$ в точке $(0,0)$ перемещается в точку $(-3, -1)$.
Функция является строго возрастающей на всей своей области определения, включая заданный промежуток $x \in (-2; 1]$.
Для построения графика и нахождения области значений найдем значения функции на границах этого промежутка.
На левой границе $x=-2$ (точка не включается в интервал, поэтому на графике будет выколотой): $y(-2) = \sqrt{-2+3} - 1 = \sqrt{1} - 1 = 0$.
На правой границе $x=1$ (точка включается в интервал): $y(1) = \sqrt{1+3} - 1 = \sqrt{4} - 1 = 2 - 1 = 1$.
График — это возрастающая кривая от выколотой точки $(-2, 0)$ до закрашенной точки $(1, 1)$.
Так как функция непрерывна и строго возрастает на промежутке $(-2; 1]$, ее область значений будет от $y(-2)$ (не включая) до $y(1)$ (включая).
Ответ: $E(y) = (0; 1]$.

г) $y = 2x^2 + 2x - 1, x \in [-1; 2]$

График функции $y = 2x^2 + 2x - 1$ — это парабола с ветвями, направленными вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен.
Найдем координаты вершины параболы:
Абсцисса вершины: $x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot 2} = -0.5$.
Ордината вершины: $y_v = 2(-0.5)^2 + 2(-0.5) - 1 = 2(0.25) - 1 - 1 = 0.5 - 2 = -1.5$.
Вершина находится в точке $(-0.5, -1.5)$.
Функция рассматривается на отрезке $x \in [-1; 2]$. Для построения графика найдем значения функции на концах этого отрезка:
При $x = -1$: $y(-1) = 2(-1)^2 + 2(-1) - 1 = 2 - 2 - 1 = -1$.
При $x = 2$: $y(2) = 2(2)^2 + 2(2) - 1 = 2 \cdot 4 + 4 - 1 = 11$.
График представляет собой дугу параболы, соединяющую точки $(-1, -1)$ и $(2, 11)$, проходящую через вершину $(-0.5, -1.5)$.
Для нахождения области значений найдем наименьшее и наибольшее значения функции. Абсцисса вершины $x_v=-0.5$ принадлежит отрезку $[-1; 2]$, следовательно, наименьшее значение функции на этом отрезке равно ординате вершины: $y_{min} = -1.5$.
Наибольшее значение будет на одном из концов отрезка. Сравнивая $y(-1)=-1$ и $y(2)=11$, получаем $y_{max} = 11$.
Таким образом, область значений функции — это все значения от $-1.5$ до $11$ включительно.
Ответ: $E(y) = [-1.5; 11]$.