Номер 7.26, страница 47, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

7.26. a) $y = \begin{cases} \frac{1}{x}, & x > 1, \\ x^3, & x \le 1; \end{cases}$

В) $y = \begin{cases} \frac{1}{x}, & x < 1, \\ x^3, & x \ge 1; \end{cases}$

б) $y = \begin{cases} \frac{6x}{x+7}, & x \ge -1, \\ \frac{18}{2-x}, & x < -1; \end{cases}$

Г) $y = \begin{cases} \frac{6x}{x+7}, & x < -1, \\ \frac{18}{2-x}, & x \ge -1. \end{cases}$

а) $y = \begin{cases} \frac{1}{x}, & x > 1 \\ x^3, & x \le 1 \end{cases}$

Для исследования функции на непрерывность необходимо проверить ее поведение в каждой точке области определения. Функция $y = x^3$ является степенной и непрерывна на всей числовой прямой, следовательно, она непрерывна и на промежутке $(-\infty, 1]$. Функция $y = \frac{1}{x}$ является дробно-рациональной и непрерывна везде, кроме точки $x=0$, где знаменатель обращается в ноль. На промежутке $(1, +\infty)$ точка $x=0$ не лежит, поэтому на этом промежутке функция непрерывна.

Единственная точка, в которой непрерывность может быть нарушена — это точка $x=1$, где меняется аналитическое выражение функции. Проверим непрерывность в этой точке. Согласно определению, функция непрерывна в точке $x=a$, если предел функции в этой точке существует и равен значению функции в этой точке: $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$. Это равносильно выполнению трех условий:
1. Функция определена в точке $x=1$.
2. Существуют и равны односторонние пределы: $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x)$.
3. Значение пределов равно значению функции в точке.

1. Найдем значение функции в точке $x=1$. При $x \le 1$ функция задается формулой $y = x^3$. Следовательно, $f(1) = 1^3 = 1$.

2. Найдем односторонние пределы в точке $x=1$:
Предел слева (при $x \to 1^-$): $f(x) = x^3$, поэтому $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} x^3 = 1^3 = 1$.
Предел справа (при $x \to 1^+$): $f(x) = \frac{1}{x}$, поэтому $\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} \frac{1}{x} = \frac{1}{1} = 1$.

3. Так как левосторонний предел равен правостороннему пределу ($1=1$), то предел функции в точке $x=1$ существует и равен 1. Это значение совпадает со значением функции в точке $f(1)=1$.

Все условия непрерывности в точке $x=1$ выполнены. Таким образом, функция непрерывна на всей числовой оси.

Ответ: функция непрерывна на всей числовой оси $(-\infty, +\infty)$.

б) $y = \begin{cases} \frac{6x}{x+7}, & x \ge -1 \\ \frac{18}{2-x}, & x < -1 \end{cases}$

Исследуем на непрерывность данную кусочно-заданную функцию. Функция $y = \frac{6x}{x+7}$ является дробно-рациональной. Она непрерывна на всей своей области определения, то есть при $x \ne -7$. На заданном промежутке $x \ge -1$ точка разрыва $x=-7$ не лежит, следовательно, на промежутке $[-1, +\infty)$ функция непрерывна. Функция $y = \frac{18}{2-x}$ также является дробно-рациональной. Она непрерывна везде, кроме точки $x=2$. На заданном промежутке $x < -1$ точка разрыва $x=2$ не лежит, следовательно, на промежутке $(-\infty, -1)$ функция непрерывна.

Проверим непрерывность в точке "стыка" $x=-1$.

1. Значение функции в точке $x=-1$. При $x \ge -1$ функция задается формулой $y = \frac{6x}{x+7}$. $f(-1) = \frac{6(-1)}{-1+7} = \frac{-6}{6} = -1$.

2. Односторонние пределы в точке $x=-1$:
Предел слева (при $x \to -1^-$): $f(x) = \frac{18}{2-x}$, поэтому $\lim_{x \to -1^-} f(x) = \lim_{x \to -1^-} \frac{18}{2-x} = \frac{18}{2-(-1)} = \frac{18}{3} = 6$.
Предел справа (при $x \to -1^+$): $f(x) = \frac{6x}{x+7}$, поэтому $\lim_{x \to -1^+} f(x) = \lim_{x \to -1^+} \frac{6x}{x+7} = \frac{6(-1)}{-1+7} = \frac{-6}{6} = -1$.

3. Так как левосторонний предел не равен правостороннему пределу ($6 \ne -1$), предел функции в точке $x=-1$ не существует. Следовательно, функция имеет разрыв в точке $x=-1$. Поскольку односторонние пределы существуют, но не равны, это разрыв первого рода (скачок). Величина скачка равна $|6 - (-1)| = 7$.

Ответ: функция имеет разрыв первого рода (скачок) в точке $x=-1$. На промежутках $(-\infty, -1)$ и $[-1, +\infty)$ функция непрерывна.

в) $y = \begin{cases} \frac{1}{x}, & x < 1 \\ x^3, & x \ge 1 \end{cases}$

Исследуем на непрерывность данную функцию. Функция $y = \frac{1}{x}$ является дробно-рациональной и имеет разрыв в точке $x=0$. Эта точка принадлежит промежутку $x < 1$. Найдем односторонние пределы в точке $x=0$: $\lim_{x \to 0^-} \frac{1}{x} = -\infty$, $\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x} = +\infty$. Так как пределы бесконечны, в точке $x=0$ функция имеет разрыв второго рода (бесконечный разрыв). Функция $y = x^3$ непрерывна на всей числовой прямой, а значит и на промежутке $[1, +\infty)$.

Проверим непрерывность в точке "стыка" $x=1$.

1. Значение функции в точке $x=1$. При $x \ge 1$ функция задается формулой $y = x^3$. $f(1) = 1^3 = 1$.

2. Односторонние пределы в точке $x=1$:
Предел слева (при $x \to 1^-$): $f(x) = \frac{1}{x}$, поэтому $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} \frac{1}{x} = \frac{1}{1} = 1$.
Предел справа (при $x \to 1^+$): $f(x) = x^3$, поэтому $\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} x^3 = 1^3 = 1$.

3. Так как $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x) = f(1) = 1$, функция непрерывна в точке $x=1$.

Таким образом, единственной точкой разрыва является точка $x=0$.

Ответ: функция имеет разрыв второго рода (бесконечный разрыв) в точке $x=0$. На промежутках $(-\infty, 0)$ и $(0, +\infty)$ функция непрерывна.

г) $y = \begin{cases} \frac{6x}{x+7}, & x < -1 \\ \frac{18}{2-x}, & x \ge -1 \end{cases}$

Исследуем на непрерывность данную функцию. Функция $y = \frac{6x}{x+7}$ имеет разрыв в точке $x=-7$. Эта точка принадлежит промежутку $x < -1$. Так как $\lim_{x \to -7} \frac{6x}{x+7} = \infty$, в точке $x=-7$ функция имеет разрыв второго рода (бесконечный разрыв). Функция $y = \frac{18}{2-x}$ имеет разрыв в точке $x=2$. Эта точка принадлежит промежутку $x \ge -1$. Так как $\lim_{x \to 2} \frac{18}{2-x} = \infty$, в точке $x=2$ функция также имеет разрыв второго рода (бесконечный разрыв).

Проверим непрерывность в точке "стыка" $x=-1$.

1. Значение функции в точке $x=-1$. При $x \ge -1$ функция задается формулой $y = \frac{18}{2-x}$. $f(-1) = \frac{18}{2-(-1)} = \frac{18}{3} = 6$.

2. Односторонние пределы в точке $x=-1$:
Предел слева (при $x \to -1^-$): $f(x) = \frac{6x}{x+7}$, поэтому $\lim_{x \to -1^-} f(x) = \lim_{x \to -1^-} \frac{6x}{x+7} = \frac{6(-1)}{-1+7} = \frac{-6}{6} = -1$.
Предел справа (при $x \to -1^+$): $f(x) = \frac{18}{2-x}$, поэтому $\lim_{x \to -1^+} f(x) = \lim_{x \to -1^+} \frac{18}{2-x} = \frac{18}{2-(-1)} = \frac{18}{3} = 6$.

3. Так как левосторонний предел не равен правостороннему пределу ($-1 \ne 6$), функция имеет разрыв в точке $x=-1$. Это разрыв первого рода (скачок).

Таким образом, функция имеет три точки разрыва.

Ответ: функция имеет разрывы в точках $x=-7$ (разрыв второго рода), $x=-1$ (разрыв первого рода, скачок) и $x=2$ (разрыв второго рода).