Номер 7.22, страница 47, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

7.22. Постройте график функции $y = f(x)$ и найдите область её определения и область её значений:

a) $f(x) = \begin{cases} 2 - x, & -3 \le x \le 1, \\ x^2, & 1 < x \le 2; \end{cases}$

б) $f(x) = \begin{cases} x^2, & -3 \le x \le 1, \\ 2 - x, & 1 < x \le 2. \end{cases}$

а) $f(x) = \begin{cases} 2 - x, & -3 \le x \le 1, \\ x^2, & 1 < x \le 2; \end{cases}$

Для построения графика функции рассмотрим ее на каждом из двух заданных промежутков.

1. На промежутке $[-3, 1]$ функция задана формулой $y = 2 - x$. Графиком является отрезок прямой. Для его построения найдем координаты конечных точек:

• Если $x = -3$, то $y = 2 - (-3) = 5$. Точка $(-3, 5)$.
• Если $x = 1$, то $y = 2 - 1 = 1$. Точка $(1, 1)$.

Обе точки включены, так как неравенства нестрогие.

2. На промежутке $(1, 2]$ функция задана формулой $y = x^2$. Графиком является часть параболы, ветви которой направлены вверх. Найдем значения на границах промежутка:

• Если $x \to 1^+$, то $y \to 1^2 = 1$. Точка $(1, 1)$ является "выколотой", так как $x > 1$.
• Если $x = 2$, то $y = 2^2 = 4$. Точка $(2, 4)$ включена в график.

Заметим, что в точке $x = 1$ первая часть графика заканчивается в точке $(1, 1)$, а вторая часть начинается из этой же точки. Следовательно, функция непрерывна в точке $x = 1$, и ее график является сплошной линией, состоящей из отрезка прямой и участка параболы.

Область определения $D(f)$. Она представляет собой объединение промежутков, на которых определена функция: $D(f) = [-3, 1] \cup (1, 2] = [-3, 2]$.

Область значений $E(f)$. Это множество всех принимаемых функцией значений $y$.

• На отрезке $[-3, 1]$ функция $y = 2 - x$ монотонно убывает. Ее значения лежат в пределах от $f(1) = 1$ до $f(-3) = 5$. Таким образом, здесь область значений — $[1, 5]$.
• На полуинтервале $(1, 2]$ функция $y = x^2$ монотонно возрастает. Ее значения лежат в пределах от $y \to 1$ (не включая) до $f(2) = 4$. Таким образом, здесь область значений — $(1, 4]$.

Общая область значений функции является объединением этих двух множеств: $E(f) = [1, 5] \cup (1, 4] = [1, 5]$.

Ответ: Область определения $D(f) = [-3, 2]$; область значений $E(f) = [1, 5]$.

б) $f(x) = \begin{cases} x^2, & -3 \le x \le 1, \\ 2 - x, & 1 < x \le 2; \end{cases}$

Для построения графика функции рассмотрим ее на каждом из двух заданных промежутков.

1. На промежутке $[-3, 1]$ функция задана формулой $y = x^2$. Графиком является часть параболы. Найдем значения в характерных точках:

• Если $x = -3$, то $y = (-3)^2 = 9$. Точка $(-3, 9)$.
• Вершина параболы находится в точке $x=0$, где $y = 0^2 = 0$. Точка $(0, 0)$.
• Если $x = 1$, то $y = 1^2 = 1$. Точка $(1, 1)$.

Все эти точки включены, так как они лежат в отрезке $[-3, 1]$.

2. На промежутке $(1, 2]$ функция задана формулой $y = 2 - x$. Графиком является отрезок прямой. Найдем координаты его конечных точек:

• Если $x \to 1^+$, то $y \to 2 - 1 = 1$. Точка $(1, 1)$ является "выколотой", так как $x > 1$.
• Если $x = 2$, то $y = 2 - 2 = 0$. Точка $(2, 0)$ включена в график.

Как и в предыдущем случае, функция непрерывна в точке $x=1$, так как значение первой части в этой точке совпадает с пределом второй части. График является сплошной линией.

Область определения $D(f)$. Она представляет собой объединение промежутков, на которых определена функция: $D(f) = [-3, 1] \cup (1, 2] = [-3, 2]$.

Область значений $E(f)$. Это множество всех принимаемых функцией значений $y$.

• На отрезке $[-3, 1]$ график функции $y = x^2$ — это дуга параболы, проходящая через минимум в точке $(0, 0)$ и концы в точках $(-3, 9)$ и $(1, 1)$. Наибольшее значение равно $f(-3)=9$, наименьшее — $f(0)=0$. Область значений здесь — $[0, 9]$.
• На полуинтервале $(1, 2]$ функция $y = 2 - x$ монотонно убывает. Ее значения лежат в пределах от $y \to 1$ (не включая) до $f(2) = 0$. Таким образом, здесь область значений — $[0, 1)$.

Общая область значений функции является объединением этих двух множеств: $E(f) = [0, 9] \cup [0, 1) = [0, 9]$.

Ответ: Область определения $D(f) = [-3, 2]$; область значений $E(f) = [0, 9]$.