Номер 7.25, страница 47, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

7.25. a) $y = \frac{\sqrt{x - 12}}{x^2 - 1};$

Б) $y = \frac{1 - \sqrt{-x^2 - 7x + 8}}{1 + \sqrt{x + 9}};$

В) $y = \frac{\sqrt{x + 12}}{x^2 - 1};$

Г) $y = \frac{x - \sqrt{-x^2 - 7x + 8}}{1 + \sqrt{x + 3}}.$

а)

Область определения функции $y = \frac{\sqrt{x - 12}}{x^2 - 1}$ находится из системы условий:
1. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным, так как корень четной степени извлекается только из неотрицательных чисел.
$x - 12 \ge 0$
2. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю, так как на ноль делить нельзя.
$x^2 - 1 \neq 0$

Решим первое неравенство:
$x - 12 \ge 0 \implies x \ge 12$.
Это соответствует промежутку $[12, +\infty)$.

Решим второе условие:
$x^2 - 1 \neq 0 \implies x^2 \neq 1 \implies x \neq 1$ и $x \neq -1$.

Теперь найдем пересечение полученных множеств. Точки $x = 1$ и $x = -1$ не входят в промежуток $[12, +\infty)$, поэтому второе условие не накладывает дополнительных ограничений на решение первого неравенства.

Ответ: $D(y) = [12, +\infty)$.

б)

Для нахождения области определения функции $y = \frac{1 - \sqrt{-x^2 - 7x + 8}}{1 + \sqrt{x + 9}}$ составим систему условий:
1. Выражение под первым квадратным корнем неотрицательно:
$-x^2 - 7x + 8 \ge 0$
2. Выражение под вторым квадратным корнем неотрицательно:
$x + 9 \ge 0$
3. Знаменатель не равен нулю:
$1 + \sqrt{x + 9} \neq 0$

Решим первое неравенство:
$-x^2 - 7x + 8 \ge 0$. Умножим на -1 и сменим знак неравенства:
$x^2 + 7x - 8 \le 0$.
Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 + 7x - 8 = 0$. По теореме Виета, $x_1 = 1$, $x_2 = -8$.
Так как ветви параболы $y=x^2 + 7x - 8$ направлены вверх, неравенство $x^2 + 7x - 8 \le 0$ выполняется на отрезке между корнями: $x \in [-8, 1]$.

Решим второе неравенство:
$x + 9 \ge 0 \implies x \ge -9$.

Рассмотрим третье условие. Так как $\sqrt{x+9} \ge 0$, то $1 + \sqrt{x+9} \ge 1$. Следовательно, знаменатель никогда не обращается в ноль. Это условие выполняется для всех $x$, для которых определен $\sqrt{x+9}$.

Найдем пересечение решений первого и второго неравенств: $x \in [-8, 1]$ и $x \ge -9$.
Пересечением является отрезок $[-8, 1]$.

Ответ: $D(y) = [-8, 1]$.

в)

Область определения функции $y = \frac{\sqrt{x + 12}}{x^2 - 1}$ находится из системы условий:
1. $x + 12 \ge 0$
2. $x^2 - 1 \neq 0$

Решим первое неравенство:
$x + 12 \ge 0 \implies x \ge -12$.
Это соответствует промежутку $[-12, +\infty)$.

Решим второе условие:
$x^2 - 1 \neq 0 \implies x^2 \neq 1 \implies x \neq 1$ и $x \neq -1$.

Теперь необходимо исключить точки $x = 1$ и $x = -1$ из промежутка $[-12, +\infty)$. Обе точки принадлежат этому промежутку.
Таким образом, получаем объединение интервалов.

Ответ: $D(y) = [-12, -1) \cup (-1, 1) \cup (1, +\infty)$.

г)

Для нахождения области определения функции $y = \frac{x - \sqrt{-x^2 - 7x + 8}}{1 + \sqrt{x + 3}}$ составим систему условий:
1. $-x^2 - 7x + 8 \ge 0$
2. $x + 3 \ge 0$
3. $1 + \sqrt{x + 3} \neq 0$

Решение первого неравенства (аналогично пункту б)):
$x \in [-8, 1]$.

Решим второе неравенство:
$x + 3 \ge 0 \implies x \ge -3$.

Третье условие $1 + \sqrt{x + 3} \neq 0$ выполняется всегда, так как $1 + \sqrt{x+3} \ge 1$.

Найдем пересечение решений первого и второго неравенств: $x \in [-8, 1]$ и $x \ge -3$.
Пересечением является отрезок $[-3, 1]$.

Ответ: $D(y) = [-3, 1]$.