Номер 7.20, страница 46, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

Алгебра, 10 класс Учебник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Звавич Леонид Исаакович, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Рязановский А Р, издательство Мнемозина, Москва, 2019, часть 1, 2 Алгебра, 10 класс Учебник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Звавич Леонид Исаакович, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Рязановский А Р, издательство Мнемозина, Москва, 2019, часть 1, 2

Авторы: Мордкович А. Г., Семенов П. В., Денищева Л. О., Звавич Л. И., Корешкова Т. А., Мишустина Т. Н., Рязановский А. Р.

Тип: Учебник

Издательство: Мнемозина

Год издания: 2019 - 2025

Уровень обучения: базовый и углублённый

Часть: 2

Цвет обложки:

ISBN: 978-5-346-04648-6 (общ.), 978-5-346-04649-3 (ч. 1), 978-5-346-04650-9 (ч. 2),

Допущено Министерством просвещения Российской Федерации

Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия

Популярные ГДЗ в 10 классе

§ 7. Определение числовой функции и способы её задания. Глава 2. Числовые функции. ч. 2 - номер 7.20, страница 46.

Навигация по странице:

Решение Комментарии
№7.20 (с. 46)
Условие. №7.20 (с. 46)
скриншот условия
Алгебра, 10 класс Учебник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Звавич Леонид Исаакович, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Рязановский А Р, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 2, страница 46, номер 7.20, Условие

7.20. а) Воспользовавшись тем, что

x52x+2=12(x+1)6x+1=12(16x+1)=3x+1+12\frac{x - 5}{2x + 2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{(x + 1) - 6}{x + 1} = \frac{1}{2} \left(1 - \frac{6}{x + 1}\right) = \frac{-3}{x + 1} + \frac{1}{2},

постройте график функции y=x52x+2y = \frac{x - 5}{2x + 2}. Напишите уравнения асимптот полученной гиперболы.

б) Функцию y=ax+bcx+dy = \frac{ax + b}{cx + d}, где c0c \ne 0, acbd\frac{a}{c} \ne \frac{b}{d}, называют дробно-линейной функцией. Докажите, что графиком дробно-линейной функции является гипербола с асимптотами x=dcx = -\frac{d}{c}, y=acy = \frac{a}{c}.

Решение 1. №7.20 (с. 46)
Алгебра, 10 класс Учебник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Звавич Леонид Исаакович, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Рязановский А Р, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 2, страница 46, номер 7.20, Решение 1 Алгебра, 10 класс Учебник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Звавич Леонид Исаакович, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Рязановский А Р, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 2, страница 46, номер 7.20, Решение 1 (продолжение 2)
Решение 2. №7.20 (с. 46)
Алгебра, 10 класс Учебник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Звавич Леонид Исаакович, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Рязановский А Р, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 2, страница 46, номер 7.20, Решение 2 Алгебра, 10 класс Учебник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Звавич Леонид Исаакович, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Рязановский А Р, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 2, страница 46, номер 7.20, Решение 2 (продолжение 2)
Решение 3. №7.20 (с. 46)

а) Чтобы построить график функции y=x52x+2y = \frac{x-5}{2x+2}, воспользуемся преобразованием, указанным в условии, которое приводит функцию к виду, удобному для построения: y=x52x+2=3x+1+12y = \frac{x-5}{2x+2} = \frac{-3}{x+1} + \frac{1}{2}. Это уравнение является уравнением гиперболы, которое можно получить из графика базовой гиперболы y=kxy = \frac{k}{x} с помощью последовательных геометрических преобразований.

Процесс построения графика выглядит следующим образом:
1. Начинаем с графика основной гиперболы y=3xy = \frac{-3}{x}. Так как коэффициент k=3k = -3 отрицателен, ветви этой гиперболы расположены во II и IV координатных четвертях.
2. Далее выполняем сдвиг графика y=3xy = \frac{-3}{x} на 1 единицу влево вдоль оси абсцисс. Это преобразование соответствует замене xx на (x+1)(x+1) и дает нам график функции y=3x+1y = \frac{-3}{x+1}. При этом вертикальная асимптота смещается из x=0x=0 в x=1x=-1.
3. Наконец, выполняем сдвиг полученного графика на 12\frac{1}{2} единицы вверх вдоль оси ординат. Это преобразование соответствует добавлению 12\frac{1}{2} к функции и дает нам искомый график функции y=3x+1+12y = \frac{-3}{x+1} + \frac{1}{2}. При этом горизонтальная асимптота смещается из y=0y=0 в y=12y=\frac{1}{2}.

Таким образом, график функции y=x52x+2y = \frac{x-5}{2x+2} — это гипербола с центром симметрии в точке (1;12)(-1; \frac{1}{2}).
Уравнения асимптот можно найти непосредственно из преобразованного вида функции. Вертикальная асимптота соответствует значению xx, при котором знаменатель обращается в ноль: x+1=0x+1=0, то есть x=1x=-1. Горизонтальная асимптота соответствует значению, к которому стремится yy при x±x \to \pm\infty, что равно свободному члену: y=12y=\frac{1}{2}.
Ответ: График функции является гиперболой, полученной из графика y=3/xy = -3/x сдвигом на 1 единицу влево и на 12\frac{1}{2} единицы вверх. Уравнения асимптот: x=1x = -1, y=12y = \frac{1}{2}.

б) Рассмотрим дробно-линейную функцию y=ax+bcx+dy = \frac{ax+b}{cx+d} при заданных условиях c0c \neq 0 и acbd\frac{a}{c} \neq \frac{b}{d}. Чтобы доказать, что ее график — гипербола, необходимо привести ее уравнение к каноническому виду смещенной гиперболы y=kxx0+y0y = \frac{k}{x-x_0} + y_0.

Для этого выполним преобразование, выделив целую часть дроби. Разделим числитель ax+bax+b на знаменатель cx+dcx+d. Это можно сделать путем алгебраических манипуляций:
y=ax+bcx+d=ac(cx)+bcx+d=ac(cx+dd)+bcx+d=ac(cx+d)adc+bcx+dy = \frac{ax+b}{cx+d} = \frac{\frac{a}{c}(cx) + b}{cx+d} = \frac{\frac{a}{c}(cx+d - d) + b}{cx+d} = \frac{\frac{a}{c}(cx+d) - \frac{ad}{c} + b}{cx+d}
Разделим почленно:
y=ac(cx+d)cx+d+badccx+d=ac+bcadccx+dy = \frac{\frac{a}{c}(cx+d)}{cx+d} + \frac{b - \frac{ad}{c}}{cx+d} = \frac{a}{c} + \frac{\frac{bc-ad}{c}}{cx+d}
Упростим второе слагаемое:
y=ac+bcadc(cx+d)=ac+bcadc2(x+dc)y = \frac{a}{c} + \frac{bc-ad}{c(cx+d)} = \frac{a}{c} + \frac{bc-ad}{c^2(x+\frac{d}{c})}

Введем обозначения: y0=acy_0 = \frac{a}{c}, x0=dcx_0 = -\frac{d}{c}, k=bcadc2k = \frac{bc-ad}{c^2}.
Тогда уравнение функции принимает вид: y=y0+kxx0y = y_0 + \frac{k}{x-x_0}.
Это уравнение описывает гиперболу, которая получается из графика базовой гиперболы y=kxy = \frac{k}{x} путем параллельного переноса на вектор (x0,y0)(x_0, y_0).

Условие acbd\frac{a}{c} \neq \frac{b}{d} равносильно условию adbcad \neq bc, то есть bcad0bc-ad \neq 0. Это гарантирует, что коэффициент k=bcadc2k = \frac{bc-ad}{c^2} не равен нулю (поскольку c0c \neq 0). Если бы k=0k=0, график был бы прямой линией y=y0y=y_0, а не гиперболой.

Асимптоты графика функции y=kxx0+y0y = \frac{k}{x-x_0} + y_0 — это прямые x=x0x=x_0 и y=y0y=y_0. Подставив выражения для x0x_0 и y0y_0, находим уравнения асимптот для исходной дробно-линейной функции:
Вертикальная асимптота: x=x0=dcx = x_0 = -\frac{d}{c}.
Горизонтальная асимптота: y=y0=acy = y_0 = \frac{a}{c}.
Таким образом, доказано, что график любой дробно-линейной функции является гиперболой с указанными асимптотами.
Ответ: Преобразование функции y=ax+bcx+dy = \frac{ax+b}{cx+d} к виду y=kxx0+y0y = \frac{k}{x-x_0} + y_0 с константами k=bcadc2k = \frac{bc-ad}{c^2}, x0=dcx_0 = -\frac{d}{c} и y0=acy_0 = \frac{a}{c} доказывает, что ее график является гиперболой. Эта гипербола получена сдвигом графика y=k/xy=k/x и имеет асимптоты x=dcx = -\frac{d}{c} и y=acy = \frac{a}{c}.

Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.

Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10 класс, для упражнения номер 7.20 расположенного на странице 46 для 2-й части к учебнику 2019 года издания для учащихся школ и гимназий.

Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №7.20 (с. 46), авторов: Мордкович (Александр Григорьевич), Семенов (Павел Владимирович), Денищева (Лариса Олеговна), Звавич (Леонид Исаакович), Корешкова (Т А), Мишустина (Татьяна Николаевна), Рязановский (А Р), 2-й части ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Мнемозина.

Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz

Присоединиться