Номер 7.20, страница 46, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов


Авторы: Мордкович А. Г., Семенов П. В., Денищева Л. О., Звавич Л. И., Корешкова Т. А., Мишустина Т. Н., Рязановский А. Р.
Тип: Учебник
Издательство: Мнемозина
Год издания: 2019 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Часть: 2
Цвет обложки:
ISBN: 978-5-346-04648-6 (общ.), 978-5-346-04649-3 (ч. 1), 978-5-346-04650-9 (ч. 2),
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 10 классе
§ 7. Определение числовой функции и способы её задания. Глава 2. Числовые функции. ч. 2 - номер 7.20, страница 46.
№7.20 (с. 46)
Условие. №7.20 (с. 46)
скриншот условия

7.20. а) Воспользовавшись тем, что
,
постройте график функции . Напишите уравнения асимптот полученной гиперболы.
б) Функцию , где , , называют дробно-линейной функцией. Докажите, что графиком дробно-линейной функции является гипербола с асимптотами , .
Решение 1. №7.20 (с. 46)


Решение 2. №7.20 (с. 46)


Решение 3. №7.20 (с. 46)
а) Чтобы построить график функции , воспользуемся преобразованием, указанным в условии, которое приводит функцию к виду, удобному для построения: . Это уравнение является уравнением гиперболы, которое можно получить из графика базовой гиперболы с помощью последовательных геометрических преобразований.
Процесс построения графика выглядит следующим образом:
1. Начинаем с графика основной гиперболы . Так как коэффициент отрицателен, ветви этой гиперболы расположены во II и IV координатных четвертях.
2. Далее выполняем сдвиг графика на 1 единицу влево вдоль оси абсцисс. Это преобразование соответствует замене на и дает нам график функции . При этом вертикальная асимптота смещается из в .
3. Наконец, выполняем сдвиг полученного графика на единицы вверх вдоль оси ординат. Это преобразование соответствует добавлению к функции и дает нам искомый график функции . При этом горизонтальная асимптота смещается из в .
Таким образом, график функции — это гипербола с центром симметрии в точке .
Уравнения асимптот можно найти непосредственно из преобразованного вида функции. Вертикальная асимптота соответствует значению , при котором знаменатель обращается в ноль: , то есть . Горизонтальная асимптота соответствует значению, к которому стремится при , что равно свободному члену: .
Ответ: График функции является гиперболой, полученной из графика сдвигом на 1 единицу влево и на единицы вверх. Уравнения асимптот: , .
б) Рассмотрим дробно-линейную функцию при заданных условиях и . Чтобы доказать, что ее график — гипербола, необходимо привести ее уравнение к каноническому виду смещенной гиперболы .
Для этого выполним преобразование, выделив целую часть дроби. Разделим числитель на знаменатель . Это можно сделать путем алгебраических манипуляций:
Разделим почленно:
Упростим второе слагаемое:
Введем обозначения: , , .
Тогда уравнение функции принимает вид: .
Это уравнение описывает гиперболу, которая получается из графика базовой гиперболы путем параллельного переноса на вектор .
Условие равносильно условию , то есть . Это гарантирует, что коэффициент не равен нулю (поскольку ). Если бы , график был бы прямой линией , а не гиперболой.
Асимптоты графика функции — это прямые и . Подставив выражения для и , находим уравнения асимптот для исходной дробно-линейной функции:
Вертикальная асимптота: .
Горизонтальная асимптота: .
Таким образом, доказано, что график любой дробно-линейной функции является гиперболой с указанными асимптотами.
Ответ: Преобразование функции к виду с константами , и доказывает, что ее график является гиперболой. Эта гипербола получена сдвигом графика и имеет асимптоты и .
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10 класс, для упражнения номер 7.20 расположенного на странице 46 для 2-й части к учебнику 2019 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №7.20 (с. 46), авторов: Мордкович (Александр Григорьевич), Семенов (Павел Владимирович), Денищева (Лариса Олеговна), Звавич (Леонид Исаакович), Корешкова (Т А), Мишустина (Татьяна Николаевна), Рязановский (А Р), 2-й части ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Мнемозина.