Номер 7.20, страница 46, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

7.20. а) Воспользовавшись тем, что

$\frac{x - 5}{2x + 2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{(x + 1) - 6}{x + 1} = \frac{1}{2} \left(1 - \frac{6}{x + 1}\right) = \frac{-3}{x + 1} + \frac{1}{2}$,

постройте график функции $y = \frac{x - 5}{2x + 2}$. Напишите уравнения асимптот полученной гиперболы.

б) Функцию $y = \frac{ax + b}{cx + d}$, где $c \ne 0$, $\frac{a}{c} \ne \frac{b}{d}$, называют дробно-линейной функцией. Докажите, что графиком дробно-линейной функции является гипербола с асимптотами $x = -\frac{d}{c}$, $y = \frac{a}{c}$.

а) Чтобы построить график функции $y = \frac{x-5}{2x+2}$, воспользуемся преобразованием, указанным в условии, которое приводит функцию к виду, удобному для построения: $y = \frac{x-5}{2x+2} = \frac{-3}{x+1} + \frac{1}{2}$. Это уравнение является уравнением гиперболы, которое можно получить из графика базовой гиперболы $y = \frac{k}{x}$ с помощью последовательных геометрических преобразований.

Процесс построения графика выглядит следующим образом:
1. Начинаем с графика основной гиперболы $y = \frac{-3}{x}$. Так как коэффициент $k = -3$ отрицателен, ветви этой гиперболы расположены во II и IV координатных четвертях.
2. Далее выполняем сдвиг графика $y = \frac{-3}{x}$ на 1 единицу влево вдоль оси абсцисс. Это преобразование соответствует замене $x$ на $(x+1)$ и дает нам график функции $y = \frac{-3}{x+1}$. При этом вертикальная асимптота смещается из $x=0$ в $x=-1$.
3. Наконец, выполняем сдвиг полученного графика на $\frac{1}{2}$ единицы вверх вдоль оси ординат. Это преобразование соответствует добавлению $\frac{1}{2}$ к функции и дает нам искомый график функции $y = \frac{-3}{x+1} + \frac{1}{2}$. При этом горизонтальная асимптота смещается из $y=0$ в $y=\frac{1}{2}$.

Таким образом, график функции $y = \frac{x-5}{2x+2}$ — это гипербола с центром симметрии в точке $(-1; \frac{1}{2})$.
Уравнения асимптот можно найти непосредственно из преобразованного вида функции. Вертикальная асимптота соответствует значению $x$, при котором знаменатель обращается в ноль: $x+1=0$, то есть $x=-1$. Горизонтальная асимптота соответствует значению, к которому стремится $y$ при $x \to \pm\infty$, что равно свободному члену: $y=\frac{1}{2}$.
Ответ: График функции является гиперболой, полученной из графика $y = -3/x$ сдвигом на 1 единицу влево и на $\frac{1}{2}$ единицы вверх. Уравнения асимптот: $x = -1$, $y = \frac{1}{2}$.

б) Рассмотрим дробно-линейную функцию $y = \frac{ax+b}{cx+d}$ при заданных условиях $c \neq 0$ и $\frac{a}{c} \neq \frac{b}{d}$. Чтобы доказать, что ее график — гипербола, необходимо привести ее уравнение к каноническому виду смещенной гиперболы $y = \frac{k}{x-x_0} + y_0$.

Для этого выполним преобразование, выделив целую часть дроби. Разделим числитель $ax+b$ на знаменатель $cx+d$. Это можно сделать путем алгебраических манипуляций:
$y = \frac{ax+b}{cx+d} = \frac{\frac{a}{c}(cx) + b}{cx+d} = \frac{\frac{a}{c}(cx+d - d) + b}{cx+d} = \frac{\frac{a}{c}(cx+d) - \frac{ad}{c} + b}{cx+d}$
Разделим почленно:
$y = \frac{\frac{a}{c}(cx+d)}{cx+d} + \frac{b - \frac{ad}{c}}{cx+d} = \frac{a}{c} + \frac{\frac{bc-ad}{c}}{cx+d}$
Упростим второе слагаемое:
$y = \frac{a}{c} + \frac{bc-ad}{c(cx+d)} = \frac{a}{c} + \frac{bc-ad}{c^2(x+\frac{d}{c})}$

Введем обозначения: $y_0 = \frac{a}{c}$, $x_0 = -\frac{d}{c}$, $k = \frac{bc-ad}{c^2}$.
Тогда уравнение функции принимает вид: $y = y_0 + \frac{k}{x-x_0}$.
Это уравнение описывает гиперболу, которая получается из графика базовой гиперболы $y = \frac{k}{x}$ путем параллельного переноса на вектор $(x_0, y_0)$.

Условие $\frac{a}{c} \neq \frac{b}{d}$ равносильно условию $ad \neq bc$, то есть $bc-ad \neq 0$. Это гарантирует, что коэффициент $k = \frac{bc-ad}{c^2}$ не равен нулю (поскольку $c \neq 0$). Если бы $k=0$, график был бы прямой линией $y=y_0$, а не гиперболой.

Асимптоты графика функции $y = \frac{k}{x-x_0} + y_0$ — это прямые $x=x_0$ и $y=y_0$. Подставив выражения для $x_0$ и $y_0$, находим уравнения асимптот для исходной дробно-линейной функции:
Вертикальная асимптота: $x = x_0 = -\frac{d}{c}$.
Горизонтальная асимптота: $y = y_0 = \frac{a}{c}$.
Таким образом, доказано, что график любой дробно-линейной функции является гиперболой с указанными асимптотами.
Ответ: Преобразование функции $y = \frac{ax+b}{cx+d}$ к виду $y = \frac{k}{x-x_0} + y_0$ с константами $k = \frac{bc-ad}{c^2}$, $x_0 = -\frac{d}{c}$ и $y_0 = \frac{a}{c}$ доказывает, что ее график является гиперболой. Эта гипербола получена сдвигом графика $y=k/x$ и имеет асимптоты $x = -\frac{d}{c}$ и $y = \frac{a}{c}$.