Номер 7.13, страница 46, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

7.13. а) $y = 2x^2;$

б) $y = -\frac{3}{x};$

в) $y = -0,5x^2;$

г) $y = \frac{2}{x}.$

а) $y = 2x^2$

Это квадратичная функция вида $y = ax^2$, где коэффициент $a = 2$. Графиком функции является парабола.

1. Область определения: Функция определена для всех действительных значений $x$. Таким образом, область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
2. Область значений: Поскольку $x^2 \ge 0$ для любого действительного $x$, и коэффициент $a = 2 > 0$, то $y = 2x^2 \ge 0$. Следовательно, область значений функции $E(y) = [0; +\infty)$.
3. Четность: Проверим функцию на четность. Найдем $y(-x)$: $y(-x) = 2(-x)^2 = 2x^2 = y(x)$. Так как $y(-x) = y(x)$, функция является четной. Ее график симметричен относительно оси ординат (оси OY).
4. Свойства графика:
   • Вершина параболы находится в точке $(0, 0)$.
   • Так как коэффициент $a=2 > 0$, ветви параболы направлены вверх.
   • График функции получается из графика параболы $y=x^2$ путем его растяжения вдоль оси OY в 2 раза.

Ответ: Функция $y = 2x^2$ — это квадратичная функция, графиком которой является парабола с вершиной в начале координат и ветвями, направленными вверх. Область определения — все действительные числа, область значений — $[0; +\infty)$. Функция является четной.

б) $y = -\frac{3}{x}$

Это функция обратной пропорциональности вида $y = \frac{k}{x}$, где коэффициент $k = -3$. Графиком функции является гипербола.

1. Область определения: Функция не определена, когда знаменатель равен нулю, то есть при $x=0$. Таким образом, область определения $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
2. Область значений: Выражение $\frac{k}{x}$ (при $k \ne 0$) никогда не может быть равным нулю. Следовательно, $y \ne 0$. Область значений функции $E(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
3. Четность: Проверим функцию на четность. Найдем $y(-x)$: $y(-x) = -\frac{3}{-x} = \frac{3}{x} = -(-\frac{3}{x}) = -y(x)$. Так как $y(-x) = -y(x)$, функция является нечетной. Ее график симметричен относительно начала координат.
4. Свойства графика:
   • График состоит из двух ветвей.
   • Так как коэффициент $k=-3 < 0$, ветви гиперболы расположены во II и IV координатных четвертях.
   • Оси координат являются асимптотами графика: ось ОХ (уравнение $y=0$) — горизонтальная асимптота, ось ОY (уравнение $x=0$) — вертикальная асимптота.

Ответ: Функция $y = -\frac{3}{x}$ — это обратная пропорциональность, графиком которой является гипербола с ветвями во II и IV четвертях. Область определения — $(-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$, область значений — $(-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Функция является нечетной.

в) $y = -0,5x^2$

Это квадратичная функция вида $y = ax^2$, где коэффициент $a = -0,5$. Графиком функции является парабола.

1. Область определения: Функция определена для всех действительных значений $x$. Таким образом, область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
2. Область значений: Поскольку $x^2 \ge 0$, а коэффициент $a = -0,5 < 0$, то $y = -0,5x^2 \le 0$. Следовательно, область значений функции $E(y) = (-\infty; 0]$.
3. Четность: Проверим функцию на четность. Найдем $y(-x)$: $y(-x) = -0,5(-x)^2 = -0,5x^2 = y(x)$. Так как $y(-x) = y(x)$, функция является четной. Ее график симметричен относительно оси ординат (оси OY).
4. Свойства графика:
   • Вершина параболы находится в точке $(0, 0)$.
   • Так как коэффициент $a=-0,5 < 0$, ветви параболы направлены вниз.
   • График функции получается из графика параболы $y=x^2$ путем его сжатия к оси ОХ в 2 раза и последующего зеркального отражения относительно оси ОХ.

Ответ: Функция $y = -0,5x^2$ — это квадратичная функция, графиком которой является парабола с вершиной в начале координат и ветвями, направленными вниз. Область определения — все действительные числа, область значений — $(-\infty; 0]$. Функция является четной.

г) $y = \frac{2}{x}$

Это функция обратной пропорциональности вида $y = \frac{k}{x}$, где коэффициент $k = 2$. Графиком функции является гипербола.

1. Область определения: Функция не определена, когда знаменатель равен нулю, то есть при $x=0$. Таким образом, область определения $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
2. Область значений: Выражение $\frac{k}{x}$ (при $k \ne 0$) никогда не может быть равным нулю. Следовательно, $y \ne 0$. Область значений функции $E(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
3. Четность: Проверим функцию на четность. Найдем $y(-x)$: $y(-x) = \frac{2}{-x} = -\frac{2}{x} = -y(x)$. Так как $y(-x) = -y(x)$, функция является нечетной. Ее график симметричен относительно начала координат.
4. Свойства графика:
   • График состоит из двух ветвей.
   • Так как коэффициент $k=2 > 0$, ветви гиперболы расположены в I и III координатных четвертях.
   • Оси координат являются асимптотами графика: ось ОХ (уравнение $y=0$) — горизонтальная асимптота, ось ОY (уравнение $x=0$) — вертикальная асимптота.

Ответ: Функция $y = \frac{2}{x}$ — это обратная пропорциональность, графиком которой является гипербола с ветвями в I и III четвертях. Область определения — $(-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$, область значений — $(-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Функция является нечетной.