Номер 7.7, страница 45, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

7.7. Выясните, при каких значениях переменных x и y линии, представленные на рисунках 3–6, задают функции вида $y = f(x)$ или/и вида $x = \varphi(y)$ (за единицу масштаба принят размер одной клетки).

Рис. 3

Рис. 4

Рис. 5

Рис. 6

Для решения этой задачи мы будем использовать графические тесты для определения функций.

• Зависимость является функцией вида $y = f(x)$, если любая вертикальная линия пересекает ее график не более чем в одной точке. Это означает, что каждому значению $x$ (из области определения) соответствует только одно значение $y$.
• Зависимость является функцией вида $x = \phi(y)$, если любая горизонтальная линия пересекает ее график не более чем в одной точке. Это означает, что каждому значению $y$ (из области определения) соответствует только одно значение $x$.

Масштаб: 1 клетка = 1 единица.

Рис. 3

Проверим, является ли линия функцией $y = f(x)$. Любая вертикальная линия, проведенная в пределах графика (от $x=-2$ до $x=2$), пересекает кривую ровно в одной точке. Следовательно, данная линия задает функцию $y = f(x)$. Область определения по оси $x$ для представленной части графика: $x \in [-2, 2]$.

Проверим, является ли линия функцией $x = \phi(y)$. Любая горизонтальная линия, проведенная в пределах графика (от $y=-1$ до $y=2$), также пересекает кривую ровно в одной точке. Следовательно, данная линия задает и функцию $x = \phi(y)$. Область определения по оси $y$ для представленной части графика: $y \in [-1, 2]$.

Ответ: Линия задает функцию $y = f(x)$ при $x \in [-2, 2]$ и функцию $x = \phi(y)$ при $y \in [-1, 2]$.

Рис. 4

Проверим на $y = f(x)$. Любая вертикальная линия, проведенная в пределах графика (от $x=-2$ до $x=1$), пересекает кривую ровно в одной точке. Значит, линия задает функцию $y = f(x)$ на промежутке $x \in [-2, 1]$.

Проверим на $x = \phi(y)$. Горизонтальная линия, например $y=1$, пересекает график в двух точках (приблизительно при $x \approx -1.8$ и $x \approx 0.8$). Поскольку одному значению $y$ соответствует несколько значений $x$, эта линия не задает функцию вида $x = \phi(y)$.

Ответ: Линия задает функцию $y = f(x)$ при $x \in [-2, 1]$, но не задает функцию вида $x = \phi(y)$.

Рис. 5

Проверим на $y = f(x)$. Вертикальная линия, например $x=1$, пересекает график в двух точках (приблизительно при $y \approx -0.7$ и $y \approx 2.7$). Поскольку одному значению $x$ соответствует несколько значений $y$, эта линия не задает функцию вида $y = f(x)$.

Проверим на $x = \phi(y)$. Любая горизонтальная линия, проведенная в пределах графика (от $y=-2$ до $y=3$), пересекает кривую ровно в одной точке. Значит, линия задает функцию $x = \phi(y)$ на промежутке $y \in [-2, 3]$.

Ответ: Линия задает функцию $x = \phi(y)$ при $y \in [-2, 3]$, но не задает функцию вида $y = f(x)$.

Рис. 6

Проверим на $y = f(x)$. Вертикальная линия, например $x=1$, пересекает график в трех точках. Следовательно, линия не задает функцию вида $y = f(x)$.

Проверим на $x = \phi(y)$. Горизонтальная линия, например $y=1$, пересекает график в двух точках. Следовательно, линия не задает и функцию вида $x = \phi(y)$.

Ответ: Линия не задает ни функцию вида $y = f(x)$, ни функцию вида $x = \phi(y)$.