Номер 7.5, страница 44, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

7.5. Площадь треугольника со стороной $a$ и высотой $h$, опущенной на эту сторону, равна 20. Выразите длину стороны $a$ как функцию длины высоты $h$ и найдите область определения и множество значений этой функции.

Выражение длины стороны a как функции длины высоты h

Формула площади треугольника $S$ через сторону $a$ и высоту $h$, опущенную на эту сторону, имеет вид: $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h$

Согласно условию задачи, площадь треугольника равна 20, то есть $S=20$. Подставим это значение в формулу: $20 = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h$

Для того чтобы выразить $a$ как функцию от $h$, необходимо решить полученное уравнение относительно $a$. Умножим обе части уравнения на 2: $40 = a \cdot h$

Теперь разделим обе части на $h$. Так как $h$ — это высота треугольника, ее длина не может быть равна нулю, поэтому деление возможно. $a = \frac{40}{h}$

Таким образом, мы получили зависимость длины стороны $a$ от длины высоты $h$.
Ответ: $a(h) = \frac{40}{h}$

Область определения этой функции

Область определения функции — это множество всех допустимых значений ее аргумента. В данном случае аргументом является высота $h$. С математической точки зрения, функция $a(h) = \frac{40}{h}$ определена для всех $h$, кроме $h=0$. Однако, с геометрической точки зрения, высота треугольника $h$ является длиной отрезка, а значит, должна быть строго положительной величиной. Следовательно, $h > 0$.

Областью определения функции является интервал от 0 до плюс бесконечности, не включая 0.
Ответ: $D(a) = (0; +\infty)$

Множество значений этой функции

Множество значений функции — это множество всех значений, которые может принимать функция. В данном случае это значения стороны $a$. Поскольку $a$ — это длина стороны треугольника, она также должна быть строго положительной величиной. Проанализируем поведение функции $a(h) = \frac{40}{h}$ при $h > 0$. Если значение высоты $h$ неограниченно приближается к нулю ($h \to 0^+$), то значение стороны $a$ неограниченно возрастает ($a \to +\infty$). Если же значение высоты $h$ неограниченно возрастает ($h \to +\infty$), то значение стороны $a$ неограниченно приближается к нулю ($a \to 0^+$), оставаясь положительным. Так как $h$ может принимать любое положительное значение, то и $a$ может принять любое положительное значение.

Следовательно, множество значений функции — это все положительные действительные числа.
Ответ: $E(a) = (0; +\infty)$