Номер 7.11, страница 45, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

7.11. a) $2x - 3y^2 = -12;$

б) $\frac{x}{x-3} \cdot \frac{x+1}{x+4} = \frac{y}{y-3} \cdot \frac{y+1}{y+4}.$

а) Решим диофантово уравнение $2x - 3y^2 = -12$ в целых числах.

Сначала выразим переменную $x$ через $y$:

$2x = 3y^2 - 12$

$x = \frac{3y^2 - 12}{2} = \frac{3}{2}y^2 - 6$

Для того чтобы $x$ был целым числом, необходимо, чтобы выражение $\frac{3}{2}y^2$ было целым. Это означает, что $3y^2$ должно быть четным числом. Так как число 3 является нечетным, то для четности произведения $3y^2$ необходимо, чтобы $y^2$ было четным числом.

Если квадрат числа, $y^2$, является четным, то и само число, $y$, должно быть четным. Поэтому мы можем представить $y$ в виде $y = 2k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

Теперь подставим это выражение для $y$ в формулу для $x$:

$x = \frac{3(2k)^2 - 12}{2} = \frac{3 \cdot 4k^2 - 12}{2} = \frac{12k^2 - 12}{2} = 6k^2 - 6 = 6(k^2 - 1)$

Таким образом, все целочисленные решения данного уравнения можно представить в виде пары формул, зависящих от целочисленного параметра $k$.

Ответ: $x = 6(k^2 - 1)$, $y = 2k$, где $k$ — любое целое число.

б) Рассмотрим уравнение $\frac{x}{x-3} \cdot \frac{x+1}{x+4} = \frac{y}{y-3} \cdot \frac{y+1}{y+4}$.

В первую очередь определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели дробей в исходном уравнении не могут быть равны нулю:

$x-3 \ne 0 \implies x \ne 3$

$x+4 \ne 0 \implies x \ne -4$

$y-3 \ne 0 \implies y \ne 3$

$y+4 \ne 0 \implies y \ne -4$

Теперь упростим уравнение, выполнив умножение дробей в левой и правой частях:

$\frac{x(x+1)}{(x-3)(x+4)} = \frac{y(y+1)}{(y-3)(y+4)}$

$\frac{x^2+x}{x^2+x-12} = \frac{y^2+y}{y^2+y-12}$

Пусть $u = x^2+x$ и $v = y^2+y$. Тогда уравнение можно переписать в виде:

$\frac{u}{u-12} = \frac{v}{v-12}$

Заметим, что условия $u-12 \ne 0$ и $v-12 \ne 0$ эквивалентны исходным ограничениям ОДЗ. Умножим обе части уравнения на $(u-12)(v-12)$ (это возможно, так как знаменатели не равны нулю в ОДЗ):

$u(v-12) = v(u-12)$

$uv - 12u = vu - 12v$

Сократив $uv$ в обеих частях, получим:

$-12u = -12v$

$u = v$

Теперь вернемся к исходным переменным $x$ и $y$:

$x^2+x = y^2+y$

Перенесем все члены уравнения в левую часть и сгруппируем их:

$(x^2 - y^2) + (x - y) = 0$

Разложим разность квадратов и вынесем общий множитель $(x-y)$ за скобки:

$(x-y)(x+y) + (x-y) = 0$

$(x-y)(x+y+1) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Это приводит к двум независимым случаям:

1) $x - y = 0 \implies x = y$

2) $x + y + 1 = 0$

Эти два равенства являются решением уравнения при соблюдении ОДЗ.

Ответ: совокупность решений $x=y$ и $x+y+1=0$ при условиях $x \ne 3$, $x \ne -4$, $y \ne 3$, $y \ne -4$.