Номер 7.8, страница 45, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

7.8. Из прямоугольного листа жести размером $30 \times 50$ см по углам вырезали квадраты со стороной $x$ см и из полученной заготовки в форме креста согнули коробку прямоугольной формы высотой, равной $x$ см (рис. 7). Выразите объём полученной коробки как функцию от $x$.

Рис. 7

Для того чтобы найти объем полученной коробки, необходимо определить ее длину, ширину и высоту, которые зависят от величины $x$.

Исходный прямоугольный лист жести имеет размеры 30 см на 50 см. По углам этого листа вырезаются квадраты со стороной $x$ см.

Когда боковые части заготовки сгибаются вверх, высота полученной коробки становится равной стороне вырезанного квадрата. Таким образом, высота коробки $h$ равна $x$.

Высота: $h = x$ см.

Длина основания коробки образуется из первоначальной длины листа (50 см), от которой с обеих сторон отрезали по отрезку длиной $x$. Следовательно, длина коробки $l$ будет равна $50 - 2x$.

Длина: $l = 50 - 2x$ см.

Аналогично, ширина основания коробки образуется из первоначальной ширины листа (30 см), от которой также с обеих сторон отрезали по отрезку длиной $x$. Следовательно, ширина коробки $w$ будет равна $30 - 2x$.

Ширина: $w = 30 - 2x$ см.

Объем $V$ прямоугольной коробки вычисляется по формуле произведения ее длины, ширины и высоты:

$V = l \cdot w \cdot h$

Теперь подставим полученные выражения в эту формулу, чтобы выразить объем $V$ как функцию от $x$:

$V(x) = (50 - 2x) \cdot (30 - 2x) \cdot x$

Чтобы представить эту функцию в виде многочлена, раскроем скобки. Сначала перемножим выражения для длины и ширины:

$(50 - 2x)(30 - 2x) = 50 \cdot 30 - 50 \cdot 2x - 2x \cdot 30 + (2x)(2x) = 1500 - 100x - 60x + 4x^2 = 4x^2 - 160x + 1500$

Теперь умножим полученный результат на высоту $x$:

$V(x) = (4x^2 - 160x + 1500) \cdot x = 4x^3 - 160x^2 + 1500x$

Таким образом, объем коробки как функция от $x$ найден.

Ответ: $V(x) = 4x^3 - 160x^2 + 1500x$.