Номер 7.4, страница 44, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

7.4. На рисунке 2 изображён сектор круга, радиус которого равен 1, а центральный угол равен $\varphi$, причём $\varphi \in (0; 2\pi)$.

а) Выразите площадь $S$ этого сектора как функцию угла $\varphi$. Постройте график функции $S = S(\varphi)$.

б) Вычислите значение функции $S = S(\varphi)$ при $\varphi = \frac{\pi}{3}$.

в) Найдите $S(2) - S(1)$.

г) Найдите $S(\varphi + \delta) - S(\varphi)$.

а) Выразите площадь S этого сектора как функцию угла ?. Постройте график функции S = S(?).

Площадь кругового сектора S с радиусом r и центральным углом ? (выраженным в радианах) вычисляется по формуле: $S = \frac{1}{2}r^2\phi$

По условию задачи радиус круга равен 1, то есть $r = 1$. Подставляя это значение в формулу, получаем выражение для площади сектора как функции угла ?: $S(\phi) = \frac{1}{2} \cdot 1^2 \cdot \phi = \frac{\phi}{2}$

Таким образом, искомая функция имеет вид $S(\phi) = \frac{\phi}{2}$. Область определения функции задана условием $\phi \in (0; 2\pi)$.

Для построения графика функции $S(\phi) = \frac{\phi}{2}$ заметим, что это линейная функция. Ее график — это прямая линия, проходящая через начало координат. Учитывая область определения $\phi \in (0; 2\pi)$, график будет представлять собой отрезок этой прямой без конечных точек.

Найдем значения функции на границах интервала, чтобы определить конечные точки отрезка:

• При $\phi \to 0$, $S(\phi) \to \frac{0}{2} = 0$. Координаты первой точки: $(0, 0)$.
• При $\phi \to 2\pi$, $S(2\pi) = \frac{2\pi}{2} = \pi$. Координаты второй точки: $(2\pi, \pi)$.

Графиком является отрезок прямой, соединяющий точки $(0, 0)$ и $(2\pi, \pi)$. Так как интервал $(0; 2\pi)$ является открытым, то сами точки $(0, 0)$ и $(2\pi, \pi)$ не принадлежат графику, что на графике изображается "выколотыми" или пустыми кружками.

Описание графика: На координатной плоскости, где по горизонтальной оси отложен угол $\phi$, а по вертикальной — площадь $S$, график функции $S(\phi) = \frac{\phi}{2}$ представляет собой отрезок прямой, выходящий из начала координат $(0,0)$ и идущий до точки $(2\pi, \pi)$. Обе конечные точки отрезка выколоты.

Ответ: $S(\phi) = \frac{\phi}{2}$, где $\phi \in (0; 2\pi)$. График функции — это отрезок прямой $S = \phi/2$ с выколотыми концами в точках $(0, 0)$ и $(2\pi, \pi)$.

б) Вычислите значение функции S = S(?) при ? = ?/3.

Используем полученную в пункте а) функцию $S(\phi) = \frac{\phi}{2}$.

Подставим значение угла $\phi = \frac{\pi}{3}$ в эту функцию: $S\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\pi/3}{2} = \frac{\pi}{6}$

Ответ: $S\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\pi}{6}$.

в) Найдите S(2) - S(1).

Сначала вычислим значения функции $S(\phi) = \frac{\phi}{2}$ для углов $\phi=2$ и $\phi=1$. Углы даны в радианах, и оба значения принадлежат области определения $(0; 2\pi)$, так как $2\pi \approx 6.28$.

При $\phi = 2$: $S(2) = \frac{2}{2} = 1$

При $\phi = 1$: $S(1) = \frac{1}{2}$

Теперь найдем разность этих значений: $S(2) - S(1) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

Ответ: $S(2) - S(1) = \frac{1}{2}$.

г) Найдите S(? + ?) - S(?).

Используя функцию $S(\phi) = \frac{\phi}{2}$, найдем выражения для $S(\phi + \delta)$ и $S(\phi)$.

$S(\phi + \delta) = \frac{\phi + \delta}{2}$

$S(\phi) = \frac{\phi}{2}$

Вычислим их разность: $S(\phi + \delta) - S(\phi) = \frac{\phi + \delta}{2} - \frac{\phi}{2} = \frac{(\phi + \delta) - \phi}{2} = \frac{\delta}{2}$

Геометрически эта разность представляет собой площадь сектора с центральным углом $\delta$ и радиусом 1, то есть это приращение площади сектора при увеличении центрального угла на величину $\delta$.

Ответ: $S(\phi + \delta) - S(\phi) = \frac{\delta}{2}$.