Номер 6.24, страница 42, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

Докажите, что количество разных наборов по два предмета, которые можно сделать из $n$ различных предметов $(n \ge 2)$, равно $ \frac{n \cdot (n - 1)}{2} $.

б) Докажите, что количество разных наборов по три предмета, которые можно сделать из $n$ различных предметов $(n \ge 3)$, равно $ \frac{n \cdot (n - 1) \cdot (n - 2)}{6} $.

а)

Задача состоит в том, чтобы найти количество различных наборов по два предмета, которые можно составить из $n$ различных предметов. В таких наборах порядок элементов не имеет значения, поэтому речь идет о нахождении числа сочетаний из $n$ элементов по 2.

Рассмотрим процесс выбора двух предметов последовательно:

1. Первый предмет из $n$ имеющихся можно выбрать $n$ способами.

2. После того как первый предмет выбран, для выбора второго остается $n-1$ предмет. Следовательно, второй предмет можно выбрать $n-1$ способом.

Если бы порядок выбора был важен, мы бы получили $n \cdot (n-1)$ различных упорядоченных пар. Такие упорядоченные наборы называются размещениями.

Однако в задаче требуется найти количество наборов, где порядок не важен. Это означает, что набор, состоящий, например, из предмета A и предмета B, идентичен набору из предмета B и предмета A. При подсчете упорядоченных пар мы учли каждый такой набор ровно два раза: как (A, B) и как (B, A). Количество способов упорядочить два элемента равно числу их перестановок, то есть $2! = 2 \cdot 1 = 2$.

Чтобы найти истинное количество уникальных наборов (сочетаний), нужно общее количество упорядоченных пар разделить на количество перестановок в каждой паре:

Количество наборов = $\frac{n \cdot (n-1)}{2}$.

Это соответствует общей формуле для числа сочетаний $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ при $k=2$:

$C_n^2 = \frac{n!}{2!(n-2)!} = \frac{n \cdot (n-1) \cdot (n-2)!}{2 \cdot 1 \cdot (n-2)!} = \frac{n \cdot (n-1)}{2}$.

Таким образом, утверждение доказано.

Ответ: Доказательство основано на подсчете упорядоченных пар предметов, которых можно выбрать $n \cdot (n-1)$ способами. Так как порядок в наборе не важен, это число делится на $2! = 2$ (число перестановок двух элементов), что и приводит к формуле $\frac{n \cdot (n-1)}{2}$.

б)

Аналогично пункту а), нам нужно доказать формулу для количества наборов по три предмета из $n$ различных предметов. Это задача на нахождение числа сочетаний из $n$ элементов по 3.

Рассмотрим последовательный выбор трех предметов:

1. Первый предмет можно выбрать $n$ способами.

2. Второй предмет можно выбрать из оставшихся $n-1$ предметов, то есть $n-1$ способом.

3. Третий предмет можно выбрать из оставшихся $n-2$ предметов, то есть $n-2$ способами.

Общее число упорядоченных наборов из трех предметов (размещений) равно произведению числа способов на каждом шаге: $n \cdot (n-1) \cdot (n-2)$.

Поскольку порядок предметов в наборе не важен, мы должны учесть, что каждый уникальный набор из трех предметов (например, {A, B, C}) был посчитан несколько раз в виде разных упорядоченных последовательностей ( (A, B, C), (A, C, B), (B, A, C) и т.д. ). Количество способов, которыми можно упорядочить три предмета, равно числу их перестановок:

$3! = 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6$.

Следовательно, каждая уникальная тройка предметов была посчитана 6 раз. Чтобы найти количество уникальных наборов, нужно разделить общее количество упорядоченных троек на 6:

Количество наборов = $\frac{n \cdot (n-1) \cdot (n-2)}{6}$.

Данный результат также следует из общей формулы для числа сочетаний $C_n^k$ при $k=3$:

$C_n^3 = \frac{n!}{3!(n-3)!} = \frac{n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot (n-3)!}{3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot (n-3)!} = \frac{n \cdot (n-1) \cdot (n-2)}{6}$.

Таким образом, утверждение доказано.

Ответ: Доказательство основано на том, что количество упорядоченных троек, выбираемых из $n$ элементов, равно $n \cdot (n-1) \cdot (n-2)$. Поскольку порядок в наборе не важен, это число делится на $3! = 6$ (число перестановок трех элементов), что приводит к искомой формуле $\frac{n \cdot (n-1) \cdot (n-2)}{6}$.