Номер 6.22, страница 41, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

6.22. a) $(6^n + 20n + 24) : 25;$

б) $(7^n + 12n + 17) : 18.$

а) Докажем, что выражение $(6^n + 20n + 24)$ делится на 25 при любом натуральном $n$, используя метод математической индукции.

Пусть $A(n) = 6^n + 20n + 24$.

1. База индукции.

Проверим утверждение для $n=1$.

$A(1) = 6^1 + 20 \cdot 1 + 24 = 6 + 20 + 24 = 50$.

Число 50 делится на 25 ($50 = 2 \cdot 25$), поэтому для $n=1$ утверждение верно.

2. Индукционное предположение.

Предположим, что утверждение верно для некоторого натурального числа $k$, то есть $A(k) = 6^k + 20k + 24$ делится на 25.

Это означает, что существует целое число $m$, такое что $6^k + 20k + 24 = 25m$.

Отсюда выразим $6^k$: $6^k = 25m - 20k - 24$.

3. Индукционный шаг.

Докажем, что утверждение верно для $n=k+1$. Мы должны показать, что $A(k+1) = 6^{k+1} + 20(k+1) + 24$ делится на 25.

Преобразуем выражение $A(k+1)$:

$A(k+1) = 6^{k+1} + 20(k+1) + 24 = 6 \cdot 6^k + 20k + 20 + 24$.

Теперь подставим выражение для $6^k$ из индукционного предположения:

$A(k+1) = 6(25m - 20k - 24) + 20k + 44$

$A(k+1) = 150m - 120k - 144 + 20k + 44$

$A(k+1) = 150m - 100k - 100$

Вынесем общий множитель 25 за скобки:

$A(k+1) = 25(6m - 4k - 4)$.

Так как $m$ и $k$ - целые числа, то выражение в скобках $(6m - 4k - 4)$ также является целым числом. Следовательно, $A(k+1)$ делится на 25.

По принципу математической индукции, мы доказали, что выражение $6^n + 20n + 24$ делится на 25 для любого натурального $n$.

Ответ: Доказано.

б) Докажем, что выражение $(7^n + 12n + 17)$ делится на 18 при любом натуральном $n$, используя метод математической индукции.

Пусть $B(n) = 7^n + 12n + 17$.

1. База индукции.

Проверим утверждение для $n=1$.

$B(1) = 7^1 + 12 \cdot 1 + 17 = 7 + 12 + 17 = 36$.

Число 36 делится на 18 ($36 = 2 \cdot 18$), поэтому для $n=1$ утверждение верно.

2. Индукционное предположение.

Предположим, что утверждение верно для некоторого натурального числа $k$, то есть $B(k) = 7^k + 12k + 17$ делится на 18.

Это означает, что существует целое число $m$, такое что $7^k + 12k + 17 = 18m$.

Отсюда выразим $7^k$: $7^k = 18m - 12k - 17$.

3. Индукционный шаг.

Докажем, что утверждение верно для $n=k+1$. Мы должны показать, что $B(k+1) = 7^{k+1} + 12(k+1) + 17$ делится на 18.

Преобразуем выражение $B(k+1)$:

$B(k+1) = 7^{k+1} + 12(k+1) + 17 = 7 \cdot 7^k + 12k + 12 + 17$.

Теперь подставим выражение для $7^k$ из индукционного предположения:

$B(k+1) = 7(18m - 12k - 17) + 12k + 29$

$B(k+1) = 126m - 84k - 119 + 12k + 29$

$B(k+1) = 126m - 72k - 90$

Заметим, что все коэффициенты делятся на 18: $126 = 7 \cdot 18$, $72 = 4 \cdot 18$, $90 = 5 \cdot 18$. Вынесем общий множитель 18 за скобки:

$B(k+1) = 18 \cdot 7m - 18 \cdot 4k - 18 \cdot 5 = 18(7m - 4k - 5)$.

Так как $m$ и $k$ - целые числа, то выражение в скобках $(7m - 4k - 5)$ также является целым числом. Следовательно, $B(k+1)$ делится на 18.

По принципу математической индукции, мы доказали, что выражение $7^n + 12n + 17$ делится на 18 для любого натурального $n$.

Ответ: Доказано.