Номер 6.19, страница 41, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

6.19. a) $(7^n - 1) : 6$;

Б) $(2^{2n+1} + 1) : 3$;

В) $(17^n - 1) : 16$;

Г) $(13^{2n+1} + 1) : 14$.

В этих задачах требуется доказать, что указанные выражения делятся нацело на заданное число для любого натурального значения $n$.

а) Доказать, что $(7^n - 1)$ делится на 6.

Для доказательства воспользуемся формулой разности n-ых степеней: $a^n - b^n = (a-b)(a^{n-1} + a^{n-2}b + \dots + ab^{n-2} + b^{n-1})$.
Представим наше выражение в виде $7^n - 1^n$ и применим формулу, где $a=7$ и $b=1$:
$7^n - 1^n = (7-1)(7^{n-1} + 7^{n-2} \cdot 1 + \dots + 7 \cdot 1^{n-2} + 1^{n-1})$
$7^n - 1 = 6 \cdot (7^{n-1} + 7^{n-2} + \dots + 7 + 1)$
Так как $n$ является натуральным числом, выражение в скобках представляет собой сумму целых чисел, и, следовательно, само является целым числом. Таким образом, выражение $(7^n - 1)$ всегда равно произведению числа 6 на целое число, что и доказывает его делимость на 6.
Ответ: Доказано, что $(7^n - 1)$ делится на 6.

б) Доказать, что $(2^{2n+1} + 1)$ делится на 3.

Показатель степени $2n+1$ при любом натуральном $n$ является нечетным числом. Для доказательства воспользуемся формулой суммы нечетных степеней: $a^k + b^k = (a+b)(a^{k-1} - a^{k-2}b + \dots - ab^{k-2} + b^{k-1})$, которая верна для любого нечетного $k$.
В нашем случае $a=2$, $b=1$, а нечетная степень $k=2n+1$.
$2^{2n+1} + 1 = 2^{2n+1} + 1^{2n+1} = (2+1)(2^{2n} - 2^{2n-1} \cdot 1 + \dots - 2 \cdot 1^{2n-1} + 1^{2n})$
$2^{2n+1} + 1 = 3 \cdot (2^{2n} - 2^{2n-1} + \dots - 2 + 1)$
Выражение в скобках является целым числом. Следовательно, исходное выражение является произведением числа 3 и целого числа, а значит, оно делится на 3.
Ответ: Доказано, что $(2^{2n+1} + 1)$ делится на 3.

в) Доказать, что $(17^n - 1)$ делится на 16.

Доказательство аналогично пункту а). Воспользуемся формулой разности n-ых степеней: $a^n - b^n = (a-b)(a^{n-1} + \dots + b^{n-1})$.
Применим ее для $a=17$ и $b=1$:
$17^n - 1 = 17^n - 1^n = (17-1)(17^{n-1} + 17^{n-2} + \dots + 17 + 1)$
$17^n - 1 = 16 \cdot (17^{n-1} + 17^{n-2} + \dots + 1)$
Так как выражение в скобках является целым числом, то $(17^n - 1)$ всегда кратно 16.
Ответ: Доказано, что $(17^n - 1)$ делится на 16.

г) Доказать, что $(13^{2n+1} + 1)$ делится на 14.

Доказательство аналогично пункту б). Показатель степени $2n+1$ является нечетным числом. Воспользуемся формулой суммы нечетных степеней: $a^k + b^k = (a+b)(a^{k-1} - a^{k-2}b + \dots + b^{k-1})$ для нечетного $k$.
В нашем случае $a=13$, $b=1$, а нечетная степень $k=2n+1$.
$13^{2n+1} + 1 = 13^{2n+1} + 1^{2n+1} = (13+1)(13^{2n} - 13^{2n-1} \cdot 1 + \dots + 1^{2n})$
$13^{2n+1} + 1 = 14 \cdot (13^{2n} - 13^{2n-1} + \dots - 13 + 1)$
Значение выражения в скобках является целым числом. Таким образом, исходное выражение всегда можно представить как произведение 14 на целое число, что доказывает его делимость на 14.
Ответ: Доказано, что $(13^{2n+1} + 1)$ делится на 14.