Номер 6.23, страница 41, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

6.23. Выведите формулу $n$-го члена последовательности $(a_n)$, заданной рекуррентным соотношением:

а) $a_1 = 0$, $a_{n+1} = a_n + n$; докажите, что $a_n = \frac{(n - 1)n}{2}$;

б) $a_1 = 0$, $a_{n+1} = a_n + n^2$; докажите, что $a_n = \frac{(n - 1)n(2n - 1)}{6}$;

в) $a_1 = -13$, $a_{n+1} = a_n + 3n$; докажите, что $a_n = \frac{(3n - 29)n}{2}$;

г) $a_1 = 0$, $a_{n+1} = a_n + n^3$; докажите, что $a_n = \frac{(n - 1)^2n^2}{4}$.

а)

Дана последовательность $a_1 = 0$, $a_{n+1} = a_n + n$.

Вывод формулы:

Рекуррентное соотношение можно переписать в виде $a_{n+1} - a_n = n$. Распишем это равенство для значений от $1$ до $n-1$:
$a_2 - a_1 = 1$
$a_3 - a_2 = 2$
$a_4 - a_3 = 3$
...
$a_n - a_{n-1} = n-1$

Сложим все эти равенства. В левой части получится телескопическая сумма, которая сворачивается в $a_n - a_1$. В правой части будет сумма первых $n-1$ натуральных чисел.

$a_n - a_1 = 1 + 2 + 3 + \dots + (n-1)$

Сумма арифметической прогрессии $1 + 2 + \dots + k$ равна $\frac{k(k+1)}{2}$. В нашем случае $k = n-1$, поэтому сумма равна $\frac{(n-1)n}{2}$.

Получаем: $a_n - a_1 = \frac{(n-1)n}{2}$.

Так как по условию $a_1 = 0$, то $a_n = \frac{(n-1)n}{2}$.

Доказательство по индукции:

Докажем, что формула $a_n = \frac{(n-1)n}{2}$ верна для всех $n \ge 1$.

1. База индукции ($n=1$):
По формуле: $a_1 = \frac{(1-1) \cdot 1}{2} = 0$.
По условию: $a_1 = 0$.
База индукции верна.

2. Индукционный переход:
Предположим, что формула верна для некоторого натурального $k \ge 1$, то есть $a_k = \frac{(k-1)k}{2}$.
Докажем, что формула верна и для $k+1$, то есть $a_{k+1} = \frac{k(k+1)}{2}$.
Используя рекуррентное соотношение $a_{k+1} = a_k + k$ и предположение индукции, получаем:
$a_{k+1} = a_k + k = \frac{(k-1)k}{2} + k = \frac{k^2-k}{2} + \frac{2k}{2} = \frac{k^2-k+2k}{2} = \frac{k^2+k}{2} = \frac{k(k+1)}{2}$.
Это совпадает с тем, что требовалось доказать. Следовательно, по принципу математической индукции, формула верна для любого натурального $n$.

Ответ: формула $a_n = \frac{(n-1)n}{2}$ выведена и доказана.

б)

Дана последовательность $a_1 = 0$, $a_{n+1} = a_n + n^2$.

Вывод формулы:

Из рекуррентного соотношения имеем $a_{n+1} - a_n = n^2$. Распишем и просуммируем равенства для $k$ от $1$ до $n-1$:

$(a_2 - a_1) + (a_3 - a_2) + \dots + (a_n - a_{n-1}) = 1^2 + 2^2 + \dots + (n-1)^2$

$a_n - a_1 = \sum_{k=1}^{n-1} k^2$

Используем известную формулу для суммы квадратов первых $m$ натуральных чисел: $\sum_{k=1}^{m} k^2 = \frac{m(m+1)(2m+1)}{6}$. В нашем случае $m=n-1$.

$a_n - a_1 = \frac{(n-1)((n-1)+1)(2(n-1)+1)}{6} = \frac{(n-1)n(2n-1)}{6}$.

Так как $a_1=0$, получаем $a_n = \frac{(n-1)n(2n-1)}{6}$.

Доказательство по индукции:

Докажем, что $a_n = \frac{(n-1)n(2n-1)}{6}$ для всех $n \ge 1$.

1. База индукции ($n=1$):
По формуле: $a_1 = \frac{(1-1) \cdot 1 \cdot (2 \cdot 1-1)}{6} = 0$.
По условию: $a_1 = 0$.
База индукции верна.

2. Индукционный переход:
Предположим, что формула верна для $n=k$: $a_k = \frac{(k-1)k(2k-1)}{6}$.
Докажем, что она верна для $n=k+1$: $a_{k+1} = \frac{k(k+1)(2(k+1)-1)}{6} = \frac{k(k+1)(2k+1)}{6}$.
По рекуррентному соотношению: $a_{k+1} = a_k + k^2$.
$a_{k+1} = \frac{(k-1)k(2k-1)}{6} + k^2 = \frac{(k^2-k)(2k-1) + 6k^2}{6} = \frac{2k^3 - k^2 - 2k^2 + k + 6k^2}{6} = \frac{2k^3 + 3k^2 + k}{6} = \frac{k(2k^2 + 3k + 1)}{6}$.
Разложим на множители квадратный трехчлен $2k^2 + 3k + 1 = (k+1)(2k+1)$.
$a_{k+1} = \frac{k(k+1)(2k+1)}{6}$.
Формула верна для $k+1$. По принципу математической индукции, формула доказана.

Ответ: формула $a_n = \frac{(n-1)n(2n-1)}{6}$ выведена и доказана.

в)

Дана последовательность $a_1 = -13$, $a_{n+1} = a_n + 3n$.

Вывод формулы:

Из соотношения $a_{k+1} - a_k = 3k$ путем суммирования от $k=1$ до $n-1$ получаем:

$a_n - a_1 = \sum_{k=1}^{n-1} 3k = 3 \sum_{k=1}^{n-1} k = 3 \frac{(n-1)n}{2}$.

Подставляя $a_1 = -13$, находим $a_n$:

$a_n = -13 + \frac{3n(n-1)}{2} = \frac{-26 + 3n^2 - 3n}{2} = \frac{3n^2 - 3n - 26}{2}$.

Анализ формулы из условия:

В условии задачи предложено доказать формулу $a_n = \frac{(3n-29)n}{2}$. Эта формула неверна для данной последовательности. Проверим:
При $n=1$: $a_1 = \frac{(3 \cdot 1-29) \cdot 1}{2} = -13$. Начальное условие выполняется.
При $n=2$: по рекуррентному соотношению $a_2 = a_1 + 3 \cdot 1 = -13 + 3 = -10$.
По предложенной формуле: $a_2 = \frac{(3 \cdot 2-29) \cdot 2}{2} = 6-29 = -23$.
Так как $-10 \ne -23$, формула из условия неверна. Доказать неверное утверждение невозможно. Вероятно, в условии задачи опечатка. Докажем выведенную нами верную формулу.

Доказательство по индукции (для верной формулы):

Докажем, что $a_n = \frac{3n^2 - 3n - 26}{2}$.

1. База индукции ($n=1$):
$a_1 = \frac{3(1)^2 - 3(1) - 26}{2} = \frac{3-3-26}{2} = -13$. Совпадает с условием.

2. Индукционный переход:
Предположим, формула верна для $n=k$: $a_k = \frac{3k^2 - 3k - 26}{2}$.
Докажем для $n=k+1$: $a_{k+1} = \frac{3(k+1)^2 - 3(k+1) - 26}{2}$.
Из рекуррентного соотношения: $a_{k+1} = a_k + 3k$.
$a_{k+1} = \frac{3k^2 - 3k - 26}{2} + 3k = \frac{3k^2 - 3k - 26 + 6k}{2} = \frac{3k^2 + 3k - 26}{2}$.
Раскроем скобки в целевой формуле для $a_{k+1}$:
$\frac{3(k^2+2k+1) - 3(k+1) - 26}{2} = \frac{3k^2+6k+3 - 3k-3 - 26}{2} = \frac{3k^2+3k-26}{2}$.
Полученные выражения совпадают, следовательно, формула верна.

Ответ: верная формула $a_n = \frac{3n^2 - 3n - 26}{2}$ выведена и доказана. Формула, предложенная в условии, содержит ошибку.

г)

Дана последовательность $a_1 = 0$, $a_{n+1} = a_n + n^3$.

Вывод формулы:

Из $a_{n+1} - a_n = n^3$ путем суммирования от $k=1$ до $n-1$ получаем:

$a_n - a_1 = \sum_{k=1}^{n-1} k^3$.

Сумма кубов первых $m$ натуральных чисел вычисляется по формуле $\sum_{k=1}^{m} k^3 = \left(\frac{m(m+1)}{2}\right)^2$. Для $m=n-1$ имеем:

$a_n - a_1 = \left(\frac{(n-1)((n-1)+1)}{2}\right)^2 = \left(\frac{(n-1)n}{2}\right)^2 = \frac{(n-1)^2 n^2}{4}$.

Поскольку $a_1=0$, окончательно получаем $a_n = \frac{(n-1)^2 n^2}{4}$.

Доказательство по индукции:

Докажем, что $a_n = \frac{(n-1)^2 n^2}{4}$ для всех $n \ge 1$.

1. База индукции ($n=1$):
$a_1 = \frac{(1-1)^2 \cdot 1^2}{4} = 0$. Совпадает с условием.

2. Индукционный переход:
Предположим, формула верна для $n=k$: $a_k = \frac{(k-1)^2 k^2}{4}$.
Докажем для $n=k+1$: $a_{k+1} = \frac{k^2 (k+1)^2}{4}$.
Из рекуррентного соотношения: $a_{k+1} = a_k + k^3$.
$a_{k+1} = \frac{(k-1)^2 k^2}{4} + k^3 = \frac{(k^2-2k+1)k^2 + 4k^3}{4} = \frac{k^4 - 2k^3 + k^2 + 4k^3}{4} = \frac{k^4 + 2k^3 + k^2}{4} = \frac{k^2(k^2+2k+1)}{4} = \frac{k^2(k+1)^2}{4}$.
Формула верна для $k+1$. По принципу математической индукции, формула доказана.

Ответ: формула $a_n = \frac{(n-1)^2 n^2}{4}$ выведена и доказана.