Номер 6.17, страница 41, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

6.17. a) $\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}} + \ldots + \frac{1}{\sqrt{n+1}} > \sqrt{n+1} - 1;$

б) $\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}} + \ldots + \frac{1}{\sqrt{n+1}} < 2\sqrt{n+1} - 1.$

Для доказательства обоих неравенств будем использовать метод математической индукции.

Докажем неравенство $\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{n+1}} > \sqrt{n+1} - 1$ для любого натурального $n$.

1. База индукции.
Проверим справедливость неравенства для $n=1$.
Левая часть: $L_1 = \frac{1}{\sqrt{1+1}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
Правая часть: $P_1 = \sqrt{1+1} - 1 = \sqrt{2} - 1$.
Требуется доказать, что $\frac{1}{\sqrt{2}} > \sqrt{2} - 1$.
Умножим обе части на $\sqrt{2}$ (так как $\sqrt{2} > 0$, знак неравенства сохраняется):
$1 > (\sqrt{2})^2 - \sqrt{2}$
$1 > 2 - \sqrt{2}$
$\sqrt{2} > 1$.
Это верное утверждение, так как $\sqrt{2} \approx 1.414$. Следовательно, база индукции выполнена.

2. Индукционное предположение.
Предположим, что неравенство верно для некоторого натурального $n=k \ge 1$:
$\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{k+1}} > \sqrt{k+1} - 1$.

3. Индукционный переход.
Докажем, что неравенство верно и для $n=k+1$. То есть, нам нужно доказать:
$\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{k+1}} + \frac{1}{\sqrt{k+2}} > \sqrt{k+2} - 1$.
Воспользуемся индукционным предположением. Левая часть неравенства может быть представлена как:
$(\frac{1}{\sqrt{2}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{k+1}}) + \frac{1}{\sqrt{k+2}} > (\sqrt{k+1} - 1) + \frac{1}{\sqrt{k+2}}$.
Теперь достаточно доказать, что полученное выражение больше правой части доказываемого неравенства:
$(\sqrt{k+1} - 1) + \frac{1}{\sqrt{k+2}} > \sqrt{k+2} - 1$
$\sqrt{k+1} + \frac{1}{\sqrt{k+2}} > \sqrt{k+2}$
Умножим обе части на $\sqrt{k+2}$ (положительное число):
$\sqrt{k+1}\sqrt{k+2} + 1 > (\sqrt{k+2})^2$
$\sqrt{(k+1)(k+2)} + 1 > k+2$
$\sqrt{k^2+3k+2} > k+1$
Поскольку обе части неравенства положительны для $k \ge 1$, мы можем возвести их в квадрат:
$k^2+3k+2 > (k+1)^2$
$k^2+3k+2 > k^2+2k+1$
$k > -1$.
Это неравенство истинно для всех натуральных $k$. Таким образом, индукционный переход доказан.

По принципу математической индукции, исходное неравенство верно для всех натуральных $n$.

Ответ: Неравенство $\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{n+1}} > \sqrt{n+1} - 1$ доказано.

Докажем неравенство $\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{n+1}} < 2\sqrt{n+1} - 1$ для любого натурального $n$.

1. База индукции.
Проверим справедливость неравенства для $n=1$.
Левая часть: $L_1 = \frac{1}{\sqrt{1+1}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
Правая часть: $P_1 = 2\sqrt{1+1} - 1 = 2\sqrt{2} - 1$.
Требуется доказать, что $\frac{1}{\sqrt{2}} < 2\sqrt{2} - 1$.
Умножим обе части на $\sqrt{2}$:
$1 < 2(\sqrt{2})^2 - \sqrt{2}$
$1 < 4 - \sqrt{2}$
$\sqrt{2} < 3$.
Это верное утверждение. База индукции выполнена.

2. Индукционное предположение.
Предположим, что неравенство верно для некоторого натурального $n=k \ge 1$:
$\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{k+1}} < 2\sqrt{k+1} - 1$.

3. Индукционный переход.
Докажем, что неравенство верно и для $n=k+1$. То есть, нам нужно доказать:
$\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{k+1}} + \frac{1}{\sqrt{k+2}} < 2\sqrt{k+2} - 1$.
Используя индукционное предположение, для левой части имеем:
$(\frac{1}{\sqrt{2}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{k+1}}) + \frac{1}{\sqrt{k+2}} < (2\sqrt{k+1} - 1) + \frac{1}{\sqrt{k+2}}$.
Теперь достаточно доказать, что:
$(2\sqrt{k+1} - 1) + \frac{1}{\sqrt{k+2}} < 2\sqrt{k+2} - 1$
$2\sqrt{k+1} + \frac{1}{\sqrt{k+2}} < 2\sqrt{k+2}$
$\frac{1}{\sqrt{k+2}} < 2\sqrt{k+2} - 2\sqrt{k+1}$
$\frac{1}{\sqrt{k+2}} < 2(\sqrt{k+2} - \sqrt{k+1})$.
Преобразуем правую часть, умножив и разделив на сопряженное выражение:
$\sqrt{k+2} - \sqrt{k+1} = \frac{(\sqrt{k+2} - \sqrt{k+1})(\sqrt{k+2} + \sqrt{k+1})}{\sqrt{k+2} + \sqrt{k+1}} = \frac{k+2 - (k+1)}{\sqrt{k+2} + \sqrt{k+1}} = \frac{1}{\sqrt{k+2} + \sqrt{k+1}}$.
Подставим это в наше неравенство:
$\frac{1}{\sqrt{k+2}} < 2 \cdot \frac{1}{\sqrt{k+2} + \sqrt{k+1}}$
$\sqrt{k+2} + \sqrt{k+1} < 2\sqrt{k+2}$
$\sqrt{k+1} < \sqrt{k+2}$.
Поскольку функция $y=\sqrt{x}$ является возрастающей, а $k+1 < k+2$ для всех $k$, это неравенство истинно. Индукционный переход доказан.

По принципу математической индукции, исходное неравенство верно для всех натуральных $n$.

Ответ: Неравенство $\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{n+1}} < 2\sqrt{n+1} - 1$ доказано.