Номер 6.15, страница 41, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов


Авторы: Мордкович А. Г., Семенов П. В., Денищева Л. О., Звавич Л. И., Корешкова Т. А., Мишустина Т. Н., Рязановский А. Р.
Тип: Учебник
Издательство: Мнемозина
Год издания: 2019 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Часть: 2
Цвет обложки:
ISBN: 978-5-346-04648-6 (общ.), 978-5-346-04649-3 (ч. 1), 978-5-346-04650-9 (ч. 2),
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 10 классе
§ 6. Метод математической индукции. Глава 1. Действительные числа. ч. 2 - номер 6.15, страница 41.
№6.15 (с. 41)
Условие. №6.15 (с. 41)
скриншот условия

6.15. Докажите неравенство:
а) , где ;
б) , где , ;
в) , где , ;
г) , где , .
Решение 1. №6.15 (с. 41)




Решение 2. №6.15 (с. 41)


Решение 3. №6.15 (с. 41)
а) Докажем неравенство , где , методом математической индукции.
1. База индукции.
Проверим, выполняется ли неравенство для наименьшего натурального числа .
.
Неравенство верно для .
2. Индукционное предположение.
Предположим, что неравенство верно для некоторого натурального числа :
.
3. Индукционный переход.
Докажем, что из истинности неравенства для следует его истинность для . То есть, докажем, что .
Преобразуем левую часть, используя индукционное предположение:
.
Теперь сравним полученное выражение с правой частью доказываемого неравенства :
.
Так как по предположению , это неравенство всегда верно. Следовательно, мы показали, что .
Таким образом, .
Индукционный переход доказан. По принципу математической индукции, неравенство верно для всех .
Ответ: неравенство доказано.
б) Докажем неравенство , где , методом математической индукции.
1. База индукции.
Проверим, выполняется ли неравенство для .
.
Неравенство верно для .
2. Индукционное предположение.
Предположим, что неравенство верно для некоторого натурального числа :
.
3. Индукционный переход.
Докажем, что неравенство верно для , то есть .
Правая часть: .
Преобразуем левую часть, используя индукционное предположение:
.
Теперь докажем, что :
.
Рассмотрим функцию . Это парабола с ветвями вверх. Найдем ее положительный корень: . Так как корень меньше 1, для всех функция будет положительной. Например, при : .
Следовательно, .
Индукционный переход доказан. По принципу математической индукции, неравенство верно для всех .
Ответ: неравенство доказано.
в) Докажем неравенство , где , методом математической индукции.
1. База индукции.
Проверим, выполняется ли неравенство для .
.
Неравенство верно для .
2. Индукционное предположение.
Предположим, что неравенство верно для некоторого натурального числа :
.
3. Индукционный переход.
Докажем, что неравенство верно для , то есть .
Правая часть: .
Преобразуем левую часть, используя индукционное предположение:
.
Теперь докажем, что :
.
Так как по предположению , это неравенство всегда верно.
Следовательно, .
Индукционный переход доказан. По принципу математической индукции, неравенство верно для всех .
Ответ: неравенство доказано.
г) Докажем неравенство , где , методом математической индукции.
1. База индукции.
Проверим, выполняется ли неравенство для .
.
Неравенство верно для .
2. Индукционное предположение.
Предположим, что неравенство верно для некоторого натурального числа :
.
3. Индукционный переход.
Докажем, что неравенство верно для , то есть .
Правая часть: .
Преобразуем левую часть, используя индукционное предположение:
.
Теперь докажем, что :
.
Рассмотрим функцию . Это парабола с ветвями вверх. Найдем ее положительный корень: . Так как , то , и корень . Поскольку корень меньше 1, для всех функция будет положительной. Например, при : .
Следовательно, .
Индукционный переход доказан. По принципу математической индукции, неравенство верно для всех .
Ответ: неравенство доказано.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10 класс, для упражнения номер 6.15 расположенного на странице 41 для 2-й части к учебнику 2019 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №6.15 (с. 41), авторов: Мордкович (Александр Григорьевич), Семенов (Павел Владимирович), Денищева (Лариса Олеговна), Звавич (Леонид Исаакович), Корешкова (Т А), Мишустина (Татьяна Николаевна), Рязановский (А Р), 2-й части ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Мнемозина.