Номер 6.15, страница 41, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

Алгебра, 10 класс Учебник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Звавич Леонид Исаакович, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Рязановский А Р, издательство Мнемозина, Москва, 2019, часть 1, 2 Алгебра, 10 класс Учебник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Звавич Леонид Исаакович, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Рязановский А Р, издательство Мнемозина, Москва, 2019, часть 1, 2

Авторы: Мордкович А. Г., Семенов П. В., Денищева Л. О., Звавич Л. И., Корешкова Т. А., Мишустина Т. Н., Рязановский А. Р.

Тип: Учебник

Издательство: Мнемозина

Год издания: 2019 - 2025

Уровень обучения: базовый и углублённый

Часть: 2

Цвет обложки:

ISBN: 978-5-346-04648-6 (общ.), 978-5-346-04649-3 (ч. 1), 978-5-346-04650-9 (ч. 2),

Допущено Министерством просвещения Российской Федерации

Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия

Популярные ГДЗ в 10 классе

§ 6. Метод математической индукции. Глава 1. Действительные числа. ч. 2 - номер 6.15, страница 41.

Навигация по странице:

Решение Комментарии
№6.15 (с. 41)
Условие. №6.15 (с. 41)
скриншот условия
Алгебра, 10 класс Учебник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Звавич Леонид Исаакович, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Рязановский А Р, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 2, страница 41, номер 6.15, Условие

6.15. Докажите неравенство:

а) 5n>3n15^n > 3n - 1, где nNn \in \mathbb{N};

б) 3n>2n2+3n3^n > 2n^2 + 3n, где nNn \in \mathbb{N}, n4n \geq 4;

в) 2n>5n+12^n > 5n + 1, где nNn \in \mathbb{N}, n5n \geq 5;

г) 5n>3n2+10n5^n > 3n^2 + 10n, где nNn \in \mathbb{N}, n3n \geq 3.

Решение 1. №6.15 (с. 41)
Алгебра, 10 класс Учебник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Звавич Леонид Исаакович, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Рязановский А Р, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 2, страница 41, номер 6.15, Решение 1 Алгебра, 10 класс Учебник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Звавич Леонид Исаакович, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Рязановский А Р, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 2, страница 41, номер 6.15, Решение 1 (продолжение 2) Алгебра, 10 класс Учебник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Звавич Леонид Исаакович, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Рязановский А Р, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 2, страница 41, номер 6.15, Решение 1 (продолжение 3) Алгебра, 10 класс Учебник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Звавич Леонид Исаакович, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Рязановский А Р, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 2, страница 41, номер 6.15, Решение 1 (продолжение 4)
Решение 2. №6.15 (с. 41)
Алгебра, 10 класс Учебник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Звавич Леонид Исаакович, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Рязановский А Р, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 2, страница 41, номер 6.15, Решение 2 Алгебра, 10 класс Учебник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Звавич Леонид Исаакович, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Рязановский А Р, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 2, страница 41, номер 6.15, Решение 2 (продолжение 2)
Решение 3. №6.15 (с. 41)

а) Докажем неравенство 5n>3n15^n > 3n - 1, где nNn \in \mathbb{N}, методом математической индукции.

1. База индукции.
Проверим, выполняется ли неравенство для наименьшего натурального числа n=1n=1.
51>3(1)15^1 > 3(1) - 1
5>25 > 2.
Неравенство верно для n=1n=1.

2. Индукционное предположение.
Предположим, что неравенство верно для некоторого натурального числа k1k \ge 1:
5k>3k15^k > 3k - 1.

3. Индукционный переход.
Докажем, что из истинности неравенства для n=kn=k следует его истинность для n=k+1n=k+1. То есть, докажем, что 5k+1>3(k+1)15^{k+1} > 3(k+1) - 1.
Преобразуем левую часть, используя индукционное предположение:
5k+1=55k>5(3k1)=15k55^{k+1} = 5 \cdot 5^k > 5 \cdot (3k - 1) = 15k - 5.
Теперь сравним полученное выражение с правой частью доказываемого неравенства 3(k+1)1=3k+23(k+1) - 1 = 3k + 2:
15k5>3k+215k - 5 > 3k + 2
12k>712k > 7
k>7/12k > 7/12.
Так как по предположению k1k \ge 1, это неравенство всегда верно. Следовательно, мы показали, что 5k+1>15k5>3k+25^{k+1} > 15k - 5 > 3k + 2.
Таким образом, 5k+1>3(k+1)15^{k+1} > 3(k+1) - 1.
Индукционный переход доказан. По принципу математической индукции, неравенство 5n>3n15^n > 3n - 1 верно для всех nNn \in \mathbb{N}.
Ответ: неравенство доказано.

б) Докажем неравенство 3n>2n2+3n3^n > 2n^2 + 3n, где nN,n4n \in \mathbb{N}, n \ge 4, методом математической индукции.

1. База индукции.
Проверим, выполняется ли неравенство для n=4n=4.
34>2(42)+3(4)3^4 > 2(4^2) + 3(4)
81>2(16)+1281 > 2(16) + 12
81>32+1281 > 32 + 12
81>4481 > 44.
Неравенство верно для n=4n=4.

2. Индукционное предположение.
Предположим, что неравенство верно для некоторого натурального числа k4k \ge 4:
3k>2k2+3k3^k > 2k^2 + 3k.

3. Индукционный переход.
Докажем, что неравенство верно для n=k+1n=k+1, то есть 3k+1>2(k+1)2+3(k+1)3^{k+1} > 2(k+1)^2 + 3(k+1).
Правая часть: 2(k2+2k+1)+3k+3=2k2+4k+2+3k+3=2k2+7k+52(k^2 + 2k + 1) + 3k + 3 = 2k^2 + 4k + 2 + 3k + 3 = 2k^2 + 7k + 5.
Преобразуем левую часть, используя индукционное предположение:
3k+1=33k>3(2k2+3k)=6k2+9k3^{k+1} = 3 \cdot 3^k > 3 \cdot (2k^2 + 3k) = 6k^2 + 9k.
Теперь докажем, что 6k2+9k>2k2+7k+56k^2 + 9k > 2k^2 + 7k + 5:
4k2+2k5>04k^2 + 2k - 5 > 0.
Рассмотрим функцию f(k)=4k2+2k5f(k) = 4k^2 + 2k - 5. Это парабола с ветвями вверх. Найдем ее положительный корень: k=2+44(4)(5)8=2+848<2+108=1k = \frac{-2 + \sqrt{4 - 4(4)(-5)}}{8} = \frac{-2 + \sqrt{84}}{8} < \frac{-2+10}{8}=1. Так как корень меньше 1, для всех k4k \ge 4 функция будет положительной. Например, при k=4k=4: 4(16)+2(4)5=64+85=67>04(16) + 2(4) - 5 = 64+8-5 = 67 > 0.
Следовательно, 3k+1>6k2+9k>2k2+7k+5=2(k+1)2+3(k+1)3^{k+1} > 6k^2 + 9k > 2k^2 + 7k + 5 = 2(k+1)^2 + 3(k+1).
Индукционный переход доказан. По принципу математической индукции, неравенство 3n>2n2+3n3^n > 2n^2 + 3n верно для всех n4n \ge 4.
Ответ: неравенство доказано.

в) Докажем неравенство 2n>5n+12^n > 5n + 1, где nN,n5n \in \mathbb{N}, n \ge 5, методом математической индукции.

1. База индукции.
Проверим, выполняется ли неравенство для n=5n=5.
25>5(5)+12^5 > 5(5) + 1
32>25+132 > 25 + 1
32>2632 > 26.
Неравенство верно для n=5n=5.

2. Индукционное предположение.
Предположим, что неравенство верно для некоторого натурального числа k5k \ge 5:
2k>5k+12^k > 5k + 1.

3. Индукционный переход.
Докажем, что неравенство верно для n=k+1n=k+1, то есть 2k+1>5(k+1)+12^{k+1} > 5(k+1) + 1.
Правая часть: 5k+5+1=5k+65k + 5 + 1 = 5k + 6.
Преобразуем левую часть, используя индукционное предположение:
2k+1=22k>2(5k+1)=10k+22^{k+1} = 2 \cdot 2^k > 2 \cdot (5k + 1) = 10k + 2.
Теперь докажем, что 10k+2>5k+610k + 2 > 5k + 6:
5k>45k > 4
k>4/5k > 4/5.
Так как по предположению k5k \ge 5, это неравенство всегда верно.
Следовательно, 2k+1>10k+2>5k+6=5(k+1)+12^{k+1} > 10k + 2 > 5k + 6 = 5(k+1) + 1.
Индукционный переход доказан. По принципу математической индукции, неравенство 2n>5n+12^n > 5n + 1 верно для всех n5n \ge 5.
Ответ: неравенство доказано.

г) Докажем неравенство 5n>3n2+10n5^n > 3n^2 + 10n, где nN,n3n \in \mathbb{N}, n \ge 3, методом математической индукции.

1. База индукции.
Проверим, выполняется ли неравенство для n=3n=3.
53>3(32)+10(3)5^3 > 3(3^2) + 10(3)
125>3(9)+30125 > 3(9) + 30
125>27+30125 > 27 + 30
125>57125 > 57.
Неравенство верно для n=3n=3.

2. Индукционное предположение.
Предположим, что неравенство верно для некоторого натурального числа k3k \ge 3:
5k>3k2+10k5^k > 3k^2 + 10k.

3. Индукционный переход.
Докажем, что неравенство верно для n=k+1n=k+1, то есть 5k+1>3(k+1)2+10(k+1)5^{k+1} > 3(k+1)^2 + 10(k+1).
Правая часть: 3(k2+2k+1)+10k+10=3k2+6k+3+10k+10=3k2+16k+133(k^2 + 2k + 1) + 10k + 10 = 3k^2 + 6k + 3 + 10k + 10 = 3k^2 + 16k + 13.
Преобразуем левую часть, используя индукционное предположение:
5k+1=55k>5(3k2+10k)=15k2+50k5^{k+1} = 5 \cdot 5^k > 5 \cdot (3k^2 + 10k) = 15k^2 + 50k.
Теперь докажем, что 15k2+50k>3k2+16k+1315k^2 + 50k > 3k^2 + 16k + 13:
12k2+34k13>012k^2 + 34k - 13 > 0.
Рассмотрим функцию f(k)=12k2+34k13f(k) = 12k^2 + 34k - 13. Это парабола с ветвями вверх. Найдем ее положительный корень: k=34+3424(12)(13)24=34+1156+62424=34+178024k = \frac{-34 + \sqrt{34^2 - 4(12)(-13)}}{24} = \frac{-34 + \sqrt{1156 + 624}}{24} = \frac{-34 + \sqrt{1780}}{24}. Так как 422=176442^2 = 1764, то 178042.2\sqrt{1780} \approx 42.2, и корень k34+42.224=8.224<1k \approx \frac{-34+42.2}{24} = \frac{8.2}{24} < 1. Поскольку корень меньше 1, для всех k3k \ge 3 функция будет положительной. Например, при k=3k=3: 12(9)+34(3)13=108+10213=197>012(9) + 34(3) - 13 = 108 + 102 - 13 = 197 > 0.
Следовательно, 5k+1>15k2+50k>3k2+16k+13=3(k+1)2+10(k+1)5^{k+1} > 15k^2 + 50k > 3k^2 + 16k + 13 = 3(k+1)^2 + 10(k+1).
Индукционный переход доказан. По принципу математической индукции, неравенство 5n>3n2+10n5^n > 3n^2 + 10n верно для всех n3n \ge 3.
Ответ: неравенство доказано.

Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.

Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10 класс, для упражнения номер 6.15 расположенного на странице 41 для 2-й части к учебнику 2019 года издания для учащихся школ и гимназий.

Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №6.15 (с. 41), авторов: Мордкович (Александр Григорьевич), Семенов (Павел Владимирович), Денищева (Лариса Олеговна), Звавич (Леонид Исаакович), Корешкова (Т А), Мишустина (Татьяна Николаевна), Рязановский (А Р), 2-й части ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Мнемозина.

Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz

Присоединиться