Номер 6.15, страница 41, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

6.15. Докажите неравенство:

а) $5^n > 3n - 1$, где $n \in \mathbb{N}$;

б) $3^n > 2n^2 + 3n$, где $n \in \mathbb{N}$, $n \geq 4$;

в) $2^n > 5n + 1$, где $n \in \mathbb{N}$, $n \geq 5$;

г) $5^n > 3n^2 + 10n$, где $n \in \mathbb{N}$, $n \geq 3$.

а) Докажем неравенство $5^n > 3n - 1$, где $n \in \mathbb{N}$, методом математической индукции.

1. База индукции.
Проверим, выполняется ли неравенство для наименьшего натурального числа $n=1$.
$5^1 > 3(1) - 1$
$5 > 2$.
Неравенство верно для $n=1$.

2. Индукционное предположение.
Предположим, что неравенство верно для некоторого натурального числа $k \ge 1$:
$5^k > 3k - 1$.

3. Индукционный переход.
Докажем, что из истинности неравенства для $n=k$ следует его истинность для $n=k+1$. То есть, докажем, что $5^{k+1} > 3(k+1) - 1$.
Преобразуем левую часть, используя индукционное предположение:
$5^{k+1} = 5 \cdot 5^k > 5 \cdot (3k - 1) = 15k - 5$.
Теперь сравним полученное выражение с правой частью доказываемого неравенства $3(k+1) - 1 = 3k + 2$:
$15k - 5 > 3k + 2$
$12k > 7$
$k > 7/12$.
Так как по предположению $k \ge 1$, это неравенство всегда верно. Следовательно, мы показали, что $5^{k+1} > 15k - 5 > 3k + 2$.
Таким образом, $5^{k+1} > 3(k+1) - 1$.
Индукционный переход доказан. По принципу математической индукции, неравенство $5^n > 3n - 1$ верно для всех $n \in \mathbb{N}$.
Ответ: неравенство доказано.

б) Докажем неравенство $3^n > 2n^2 + 3n$, где $n \in \mathbb{N}, n \ge 4$, методом математической индукции.

1. База индукции.
Проверим, выполняется ли неравенство для $n=4$.
$3^4 > 2(4^2) + 3(4)$
$81 > 2(16) + 12$
$81 > 32 + 12$
$81 > 44$.
Неравенство верно для $n=4$.

2. Индукционное предположение.
Предположим, что неравенство верно для некоторого натурального числа $k \ge 4$:
$3^k > 2k^2 + 3k$.

3. Индукционный переход.
Докажем, что неравенство верно для $n=k+1$, то есть $3^{k+1} > 2(k+1)^2 + 3(k+1)$.
Правая часть: $2(k^2 + 2k + 1) + 3k + 3 = 2k^2 + 4k + 2 + 3k + 3 = 2k^2 + 7k + 5$.
Преобразуем левую часть, используя индукционное предположение:
$3^{k+1} = 3 \cdot 3^k > 3 \cdot (2k^2 + 3k) = 6k^2 + 9k$.
Теперь докажем, что $6k^2 + 9k > 2k^2 + 7k + 5$:
$4k^2 + 2k - 5 > 0$.
Рассмотрим функцию $f(k) = 4k^2 + 2k - 5$. Это парабола с ветвями вверх. Найдем ее положительный корень: $k = \frac{-2 + \sqrt{4 - 4(4)(-5)}}{8} = \frac{-2 + \sqrt{84}}{8} < \frac{-2+10}{8}=1$. Так как корень меньше 1, для всех $k \ge 4$ функция будет положительной. Например, при $k=4$: $4(16) + 2(4) - 5 = 64+8-5 = 67 > 0$.
Следовательно, $3^{k+1} > 6k^2 + 9k > 2k^2 + 7k + 5 = 2(k+1)^2 + 3(k+1)$.
Индукционный переход доказан. По принципу математической индукции, неравенство $3^n > 2n^2 + 3n$ верно для всех $n \ge 4$.
Ответ: неравенство доказано.

в) Докажем неравенство $2^n > 5n + 1$, где $n \in \mathbb{N}, n \ge 5$, методом математической индукции.

1. База индукции.
Проверим, выполняется ли неравенство для $n=5$.
$2^5 > 5(5) + 1$
$32 > 25 + 1$
$32 > 26$.
Неравенство верно для $n=5$.

2. Индукционное предположение.
Предположим, что неравенство верно для некоторого натурального числа $k \ge 5$:
$2^k > 5k + 1$.

3. Индукционный переход.
Докажем, что неравенство верно для $n=k+1$, то есть $2^{k+1} > 5(k+1) + 1$.
Правая часть: $5k + 5 + 1 = 5k + 6$.
Преобразуем левую часть, используя индукционное предположение:
$2^{k+1} = 2 \cdot 2^k > 2 \cdot (5k + 1) = 10k + 2$.
Теперь докажем, что $10k + 2 > 5k + 6$:
$5k > 4$
$k > 4/5$.
Так как по предположению $k \ge 5$, это неравенство всегда верно.
Следовательно, $2^{k+1} > 10k + 2 > 5k + 6 = 5(k+1) + 1$.
Индукционный переход доказан. По принципу математической индукции, неравенство $2^n > 5n + 1$ верно для всех $n \ge 5$.
Ответ: неравенство доказано.

г) Докажем неравенство $5^n > 3n^2 + 10n$, где $n \in \mathbb{N}, n \ge 3$, методом математической индукции.

1. База индукции.
Проверим, выполняется ли неравенство для $n=3$.
$5^3 > 3(3^2) + 10(3)$
$125 > 3(9) + 30$
$125 > 27 + 30$
$125 > 57$.
Неравенство верно для $n=3$.

2. Индукционное предположение.
Предположим, что неравенство верно для некоторого натурального числа $k \ge 3$:
$5^k > 3k^2 + 10k$.

3. Индукционный переход.
Докажем, что неравенство верно для $n=k+1$, то есть $5^{k+1} > 3(k+1)^2 + 10(k+1)$.
Правая часть: $3(k^2 + 2k + 1) + 10k + 10 = 3k^2 + 6k + 3 + 10k + 10 = 3k^2 + 16k + 13$.
Преобразуем левую часть, используя индукционное предположение:
$5^{k+1} = 5 \cdot 5^k > 5 \cdot (3k^2 + 10k) = 15k^2 + 50k$.
Теперь докажем, что $15k^2 + 50k > 3k^2 + 16k + 13$:
$12k^2 + 34k - 13 > 0$.
Рассмотрим функцию $f(k) = 12k^2 + 34k - 13$. Это парабола с ветвями вверх. Найдем ее положительный корень: $k = \frac{-34 + \sqrt{34^2 - 4(12)(-13)}}{24} = \frac{-34 + \sqrt{1156 + 624}}{24} = \frac{-34 + \sqrt{1780}}{24}$. Так как $42^2 = 1764$, то $\sqrt{1780} \approx 42.2$, и корень $k \approx \frac{-34+42.2}{24} = \frac{8.2}{24} < 1$. Поскольку корень меньше 1, для всех $k \ge 3$ функция будет положительной. Например, при $k=3$: $12(9) + 34(3) - 13 = 108 + 102 - 13 = 197 > 0$.
Следовательно, $5^{k+1} > 15k^2 + 50k > 3k^2 + 16k + 13 = 3(k+1)^2 + 10(k+1)$.
Индукционный переход доказан. По принципу математической индукции, неравенство $5^n > 3n^2 + 10n$ верно для всех $n \ge 3$.
Ответ: неравенство доказано.