Номер 6.8, страница 39, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

6.8. a) $4 \cdot 2 + 7 \cdot 2^3 + 10 \cdot 2^5 + \dots + (3n + 1)2^{2n-1} = n \cdot 2^{2n+1}$;

б) $\frac{1}{2} + \frac{2}{2^2} + \frac{3}{2^3} + \dots + \frac{n}{2^n} = 2 - \frac{n+2}{2^n}$;

в) $1 \cdot 2^2 + 2 \cdot 3^2 + \dots + (n - 1)n^2 = \frac{n(n^2 - 1)(3n + 2)}{12}$;

г) $\frac{1}{3} + \frac{2}{3^2} + \frac{3}{3^3} + \dots + \frac{n}{3^n} = \frac{3}{4}\left(1 - \frac{2n + 3}{3^{n+1}}\right)$.

Для доказательства всех тождеств используется метод математической индукции.

а) $4 \cdot 2 + 7 \cdot 2^3 + 10 \cdot 2^5 + \dots + (3n + 1)2^{2n-1} = n \cdot 2^{2n+1}$

Докажем данное равенство методом математической индукции. Общий член ряда можно записать как $\sum_{k=1}^{n} (3k+1)2^{2k-1}$.

1. База индукции ($n=1$):

Проверим справедливость формулы для $n=1$.

Левая часть: $(3 \cdot 1 + 1)2^{2 \cdot 1 - 1} = 4 \cdot 2^1 = 8$.

Правая часть: $1 \cdot 2^{2 \cdot 1 + 1} = 1 \cdot 2^3 = 8$.

Левая часть равна правой, следовательно, формула верна для $n=1$.

2. Индукционный переход:

Предположим, что формула верна для некоторого натурального $n=k \ge 1$:

$\sum_{i=1}^{k} (3i+1)2^{2i-1} = k \cdot 2^{2k+1}$.

Докажем, что формула верна и для $n=k+1$, то есть:

$\sum_{i=1}^{k+1} (3i+1)2^{2i-1} = (k+1) \cdot 2^{2(k+1)+1}$.

Рассмотрим левую часть равенства для $n=k+1$:

$\sum_{i=1}^{k+1} (3i+1)2^{2i-1} = \left(\sum_{i=1}^{k} (3i+1)2^{2i-1}\right) + (3(k+1)+1)2^{2(k+1)-1}$.

Используя индукционное предположение, заменяем сумму:

$k \cdot 2^{2k+1} + (3k+4)2^{2k+1} = (k + 3k + 4) \cdot 2^{2k+1} = (4k+4) \cdot 2^{2k+1}$.

Преобразуем выражение:

$4(k+1) \cdot 2^{2k+1} = 2^2(k+1) \cdot 2^{2k+1} = (k+1) \cdot 2^{2k+1+2} = (k+1) \cdot 2^{2k+3}$.

Правая часть равенства для $n=k+1$ равна:

$(k+1) \cdot 2^{2(k+1)+1} = (k+1) \cdot 2^{2k+2+1} = (k+1) \cdot 2^{2k+3}$.

Левая и правая части совпали, следовательно, индукционный переход доказан.

Таким образом, по принципу математической индукции, формула верна для любого натурального $n \ge 1$.

Ответ: $4 \cdot 2 + 7 \cdot 2^3 + 10 \cdot 2^5 + \dots + (3n + 1)2^{2n-1} = n \cdot 2^{2n+1}$.

б) $\frac{1}{2} + \frac{2}{2^2} + \frac{3}{2^3} + \dots + \frac{n}{2^n} = 2 - \frac{n+2}{2^n}$

1. База индукции ($n=1$):

Проверим справедливость формулы для $n=1$.

Левая часть: $\frac{1}{2^1} = \frac{1}{2}$.

Правая часть: $2 - \frac{1+2}{2^1} = 2 - \frac{3}{2} = \frac{1}{2}$.

Левая часть равна правой, формула верна для $n=1$.

2. Индукционный переход:

Предположим, что формула верна для некоторого натурального $n=k \ge 1$:

$\sum_{i=1}^{k} \frac{i}{2^i} = 2 - \frac{k+2}{2^k}$.

Докажем, что формула верна и для $n=k+1$, то есть:

$\sum_{i=1}^{k+1} \frac{i}{2^i} = 2 - \frac{(k+1)+2}{2^{k+1}} = 2 - \frac{k+3}{2^{k+1}}$.

Рассмотрим левую часть равенства для $n=k+1$:

$\sum_{i=1}^{k+1} \frac{i}{2^i} = \left(\sum_{i=1}^{k} \frac{i}{2^i}\right) + \frac{k+1}{2^{k+1}}$.

Используя индукционное предположение:

$\left(2 - \frac{k+2}{2^k}\right) + \frac{k+1}{2^{k+1}} = 2 - \left(\frac{k+2}{2^k} - \frac{k+1}{2^{k+1}}\right)$.

Приведем дроби в скобках к общему знаменателю $2^{k+1}$:

$2 - \left(\frac{2(k+2)}{2^{k+1}} - \frac{k+1}{2^{k+1}}\right) = 2 - \frac{2k+4 - (k+1)}{2^{k+1}} = 2 - \frac{2k+4-k-1}{2^{k+1}} = 2 - \frac{k+3}{2^{k+1}}$.

Полученное выражение совпадает с правой частью доказываемого равенства для $n=k+1$. Индукционный переход доказан.

Следовательно, по принципу математической индукции, формула верна для любого натурального $n \ge 1$.

Ответ: $\frac{1}{2} + \frac{2}{2^2} + \frac{3}{2^3} + \dots + \frac{n}{2^n} = 2 - \frac{n+2}{2^n}$.

в) $1 \cdot 2^2 + 2 \cdot 3^2 + \dots + (n-1)n^2 = \frac{n(n^2-1)(3n+2)}{12}$

Сумма определена для $n \ge 2$.

1. База индукции ($n=2$):

Проверим справедливость формулы для $n=2$.

Левая часть: $1 \cdot 2^2 = 4$.

Правая часть: $\frac{2(2^2-1)(3 \cdot 2+2)}{12} = \frac{2 \cdot 3 \cdot 8}{12} = \frac{48}{12} = 4$.

Левая часть равна правой, формула верна для $n=2$.

2. Индукционный переход:

Предположим, что формула верна для некоторого натурального $n=k \ge 2$:

$\sum_{i=2}^{k} (i-1)i^2 = \frac{k(k^2-1)(3k+2)}{12}$.

Докажем, что формула верна и для $n=k+1$, то есть:

$\sum_{i=2}^{k+1} (i-1)i^2 = \frac{(k+1)((k+1)^2-1)(3(k+1)+2)}{12}$.

Рассмотрим левую часть равенства для $n=k+1$:

$\sum_{i=2}^{k+1} (i-1)i^2 = \left(\sum_{i=2}^{k} (i-1)i^2\right) + k(k+1)^2$.

Используя индукционное предположение:

$\frac{k(k^2-1)(3k+2)}{12} + k(k+1)^2 = \frac{k(k-1)(k+1)(3k+2)}{12} + \frac{12k(k+1)^2}{12}$.

Вынесем общий множитель $\frac{k(k+1)}{12}$:

$\frac{k(k+1)}{12} \left[ (k-1)(3k+2) + 12(k+1) \right] = \frac{k(k+1)}{12} [3k^2-k-2 + 12k+12] = \frac{k(k+1)}{12} [3k^2+11k+10]$.

Разложим квадратный трехчлен $3k^2+11k+10 = (k+2)(3k+5)$.

Получаем: $\frac{k(k+1)(k+2)(3k+5)}{12}$.

Теперь преобразуем правую часть доказываемого равенства для $n=k+1$:

$\frac{(k+1)((k+1)^2-1)(3(k+1)+2)}{12} = \frac{(k+1)(k^2+2k)(3k+5)}{12} = \frac{(k+1)k(k+2)(3k+5)}{12}$.

Левая и правая части совпали, индукционный переход доказан.

Следовательно, по принципу математической индукции, формула верна для любого целого $n \ge 2$.

Ответ: $1 \cdot 2^2 + 2 \cdot 3^2 + \dots + (n-1)n^2 = \frac{n(n^2-1)(3n+2)}{12}$.

г) $\frac{1}{3} + \frac{2}{3^2} + \frac{3}{3^3} + \dots + \frac{n}{3^n} = \frac{3}{4}\left(1 - \frac{2n+3}{3^{n+1}}\right)$

1. База индукции ($n=1$):

Проверим справедливость формулы для $n=1$.

Левая часть: $\frac{1}{3^1} = \frac{1}{3}$.

Правая часть: $\frac{3}{4}\left(1 - \frac{2 \cdot 1+3}{3^{1+1}}\right) = \frac{3}{4}\left(1 - \frac{5}{9}\right) = \frac{3}{4} \cdot \frac{4}{9} = \frac{1}{3}$.

Левая часть равна правой, формула верна для $n=1$.

2. Индукционный переход:

Предположим, что формула верна для некоторого натурального $n=k \ge 1$:

$\sum_{i=1}^{k} \frac{i}{3^i} = \frac{3}{4}\left(1 - \frac{2k+3}{3^{k+1}}\right)$.

Докажем, что формула верна и для $n=k+1$, то есть:

$\sum_{i=1}^{k+1} \frac{i}{3^i} = \frac{3}{4}\left(1 - \frac{2(k+1)+3}{3^{k+2}}\right) = \frac{3}{4}\left(1 - \frac{2k+5}{3^{k+2}}\right)$.

Рассмотрим левую часть равенства для $n=k+1$:

$\sum_{i=1}^{k+1} \frac{i}{3^i} = \left(\sum_{i=1}^{k} \frac{i}{3^i}\right) + \frac{k+1}{3^{k+1}}$.

Используя индукционное предположение:

$\frac{3}{4}\left(1 - \frac{2k+3}{3^{k+1}}\right) + \frac{k+1}{3^{k+1}} = \frac{3}{4} - \frac{3(2k+3)}{4 \cdot 3^{k+1}} + \frac{k+1}{3^{k+1}}$.

Преобразуем выражение, приводя к общему знаменателю $4 \cdot 3^{k+1}$:

$\frac{3}{4} - \frac{3(2k+3)}{4 \cdot 3^{k+1}} + \frac{4(k+1)}{4 \cdot 3^{k+1}} = \frac{3}{4} - \frac{6k+9 - 4(k+1)}{4 \cdot 3^{k+1}} = \frac{3}{4} - \frac{6k+9-4k-4}{4 \cdot 3^{k+1}} = \frac{3}{4} - \frac{2k+5}{4 \cdot 3^{k+1}}$.

Теперь преобразуем правую часть доказываемого равенства для $n=k+1$:

$\frac{3}{4}\left(1 - \frac{2k+5}{3^{k+2}}\right) = \frac{3}{4} - \frac{3}{4} \cdot \frac{2k+5}{3^{k+2}} = \frac{3}{4} - \frac{2k+5}{4 \cdot 3^{k+1}}$.

Левая и правая части совпали, индукционный переход доказан.

Следовательно, по принципу математической индукции, формула верна для любого натурального $n \ge 1$.

Ответ: $\frac{1}{3} + \frac{2}{3^2} + \frac{3}{3^3} + \dots + \frac{n}{3^n} = \frac{3}{4}\left(1 - \frac{2n+3}{3^{n+1}}\right)$.