Номер 6.5, страница 38, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

6.5. а) $1 + 2 + 4 + 8 + \dots + 2^{n-1} = 2^n - 1;$

б) $1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \dots + \frac{1}{3^n} = 1,5 - \frac{1,5}{3^n};$

в) $3 - 9 + 27 - 81 + \dots + (-3)^n = \frac{3}{4}(1 - (-3)^n);$

г) $1 + 0,1 + 0,01 + \dots + 0,000\dots01$

n - 1 нуль после запятой

$= 1,(1) \cdot (1 - 0,000\dots01)$

n нулей после запятой

а) Данное выражение представляет собой сумму членов геометрической прогрессии. Для этой прогрессии первый член $b_1 = 1$, а знаменатель $q = 2/1 = 2$. Ряд $1 + 2 + 4 + \dots + 2^{n-1}$ можно записать как $2^0 + 2^1 + 2^2 + \dots + 2^{n-1}$, что означает, что он содержит $n$ членов.

Для нахождения суммы первых n членов геометрической прогрессии используется формула $S_n = b_1 \frac{q^n - 1}{q - 1}$.

Подставляя значения $b_1=1$, $q=2$ и число членов $n$, получаем:

$S_n = 1 \cdot \frac{2^n - 1}{2 - 1} = \frac{2^n - 1}{1} = 2^n - 1$.

Полученный результат полностью совпадает с правой частью исходного равенства, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство доказано.

б) Левая часть равенства является суммой членов геометрической прогрессии, у которой первый член $b_1 = 1$ и знаменатель $q = \frac{1/3}{1} = \frac{1}{3}$. Общий вид члена прогрессии: $b_k = (1/3)^{k-1}$. Если последний член, как указано, $\frac{1}{3^n}$, то это $(n+1)$-й член прогрессии. Сумма $n+1$ членов равна $S_{n+1} = 1 \cdot \frac{1 - (1/3)^{n+1}}{1-1/3} = \frac{3}{2}(1 - \frac{1}{3^{n+1}}) = 1,5 - \frac{1,5}{3^{n+1}} = 1,5 - \frac{0,5}{3^n}$, что не соответствует правой части равенства. Вероятнее всего, в условии допущена опечатка, и имелась в виду сумма n членов, то есть $1 + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{3^{n-1}}$. В этом случае равенство будет верным.

Докажем тождество для суммы n членов. Используем формулу $S_n = b_1 \frac{1 - q^n}{1 - q}$:

$S_n = 1 \cdot \frac{1 - (1/3)^n}{1 - 1/3} = \frac{1 - 1/3^n}{2/3} = \frac{3}{2} \cdot (1 - \frac{1}{3^n}) = 1,5 \cdot (1 - \frac{1}{3^n}) = 1,5 - \frac{1,5}{3^n}$.

Этот результат совпадает с правой частью исходного выражения.

Ответ: Равенство доказано в предположении, что сумма состоит из $n$ слагаемых.

в) Данное выражение — это сумма членов знакочередующейся геометрической прогрессии. Первый член $b_1 = 3$, а знаменатель $q = -9/3 = -3$. Общий член этой прогрессии имеет вид $b_k = 3 \cdot (-3)^{k-1}$. Указанный в условии последний член $(-3)^n$ не соответствует общему виду члена $b_k$ ни для какого целого k. Скорее всего, здесь также имеется опечатка, и подразумевалась сумма n членов, где последний член $b_n = 3 \cdot (-3)^{n-1}$. При таком условии равенство становится верным.

Проверим это, вычислив сумму n членов по формуле $S_n = b_1 \frac{1 - q^n}{1 - q}$:

$S_n = 3 \cdot \frac{1 - (-3)^n}{1 - (-3)} = 3 \cdot \frac{1 - (-3)^n}{1 + 3} = 3 \cdot \frac{1 - (-3)^n}{4} = \frac{3}{4}(1 - (-3)^n)$.

Результат в точности совпадает с правой частью данного равенства.

Ответ: Равенство доказано в предположении, что сумма состоит из $n$ слагаемых.

г) Для доказательства данного тождества проанализируем его левую и правую части по отдельности.

Левая часть (ЛЧ): $1 + 0,1 + 0,01 + \dots + \underbrace{0,000\dots01}_{n-1 \text{ нуль после запятой}}$.

Эта сумма представляет собой геометрическую прогрессию. Запишем её члены в виде степеней: $10^0 + 10^{-1} + 10^{-2} + \dots + 10^{-n}$. Член $\underbrace{0,00\dots01}_{n-1 \text{ нуль}}$ соответствует $10^{-n}$.

Параметры прогрессии: первый член $b_1 = 1$, знаменатель $q = 0,1$. Количество членов в сумме (от 0-й до n-й степени) равно $n+1$.

Сумма $S_{n+1}$ вычисляется по формуле: $S_{n+1} = b_1 \frac{1 - q^{n+1}}{1 - q} = 1 \cdot \frac{1 - (0,1)^{n+1}}{1 - 0,1} = \frac{1 - (0,1)^{n+1}}{0,9} = \frac{10}{9}(1 - (0,1)^{n+1})$.

Правая часть (ПЧ): $1,(1) \cdot (1 - \underbrace{0,000\dots01}_{n \text{ нулей после запятой}})$.

Преобразуем множители. Периодическая дробь $1,(1)$ равна $\frac{10}{9}$. Это можно показать, представив ее как сумму бесконечной геометрической прогрессии $1 + 0,1 + 0,01 + \dots$ с $b_1=1$ и $q=0,1$: $S = \frac{b_1}{1-q} = \frac{1}{1-0,1} = \frac{1}{0,9} = \frac{10}{9}$.

Число $\underbrace{0,00\dots01}_{n \text{ нулей}}$ равно $10^{-(n+1)}$ или $(0,1)^{n+1}$.

Следовательно, ПЧ $= \frac{10}{9} \cdot (1 - (0,1)^{n+1})$.

Сравнивая полученные выражения для ЛЧ и ПЧ, мы видим, что они равны. Таким образом, равенство доказано.

Ответ: Равенство доказано.