Номер 6.12, страница 40, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

6.12. Используя тождество из 6.11, вычислите сумму:

a) $\frac{1}{4 \cdot 9} + \frac{1}{9 \cdot 14} + \frac{1}{14 \cdot 19} + \dots + \frac{1}{144 \cdot 149}$

б) $\frac{1}{1,5 \cdot 2,5} + \frac{1}{2,5 \cdot 3,5} + \frac{1}{3,5 \cdot 4,5} + \dots + \frac{1}{73,5 \cdot 74,5}$

Для решения данной задачи воспользуемся тождеством, которое позволяет раскладывать дробь вида $ \frac{1}{a \cdot b} $ на разность двух дробей. Это тождество, которое, предположительно, было приведено в задании 6.11, имеет вид:

$ \frac{1}{n(n+d)} = \frac{1}{d} \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+d} \right) $

Здесь $ d $ — это разность между множителями в знаменателе. Применение этого тождества к каждому члену суммы приводит к "телескопическому" эффекту, когда большинство слагаемых взаимно уничтожаются.

а) $ \frac{1}{4 \cdot 9} + \frac{1}{9 \cdot 14} + \frac{1}{14 \cdot 19} + \dots + \frac{1}{144 \cdot 149} $

Сначала определим разность $ d $ для множителей в знаменателях. $ 9 - 4 = 5 $, $ 14 - 9 = 5 $, $ 19 - 14 = 5 $, и так далее. Разность постоянна и равна 5.

Используя тождество с $ d=5 $, разложим каждый член суммы:

$ \frac{1}{n(n+5)} = \frac{1}{5} \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+5} \right) $

Применим это к нашей сумме $ S_a $:

$ S_a = \frac{1}{5}\left(\frac{1}{4} - \frac{1}{9}\right) + \frac{1}{5}\left(\frac{1}{9} - \frac{1}{14}\right) + \frac{1}{5}\left(\frac{1}{14} - \frac{1}{19}\right) + \dots + \frac{1}{5}\left(\frac{1}{144} - \frac{1}{149}\right) $

Вынесем общий множитель $ \frac{1}{5} $ за скобки:

$ S_a = \frac{1}{5} \left[ \left(\frac{1}{4} - \frac{1}{9}\right) + \left(\frac{1}{9} - \frac{1}{14}\right) + \left(\frac{1}{14} - \frac{1}{19}\right) + \dots + \left(\frac{1}{144} - \frac{1}{149}\right) \right] $

Внутри скобок все промежуточные слагаемые ($-\frac{1}{9}$ и $+\frac{1}{9}$, $-\frac{1}{14}$ и $+\frac{1}{14}$ и т.д.) взаимно уничтожаются. Остаются только первое и последнее слагаемые:

$ S_a = \frac{1}{5} \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{149} \right) $

Теперь вычислим значение выражения в скобках:

$ \frac{1}{4} - \frac{1}{149} = \frac{149 - 4}{4 \cdot 149} = \frac{145}{596} $

Подставим это значение обратно в формулу для суммы:

$ S_a = \frac{1}{5} \cdot \frac{145}{596} = \frac{29}{596} $

Ответ: $ \frac{29}{596} $

б) $ \frac{1}{1,5 \cdot 2,5} + \frac{1}{2,5 \cdot 3,5} + \frac{1}{3,5 \cdot 4,5} + \dots + \frac{1}{73,5 \cdot 74,5} $

Аналогично предыдущему пункту, найдем разность $ d $ между множителями в знаменателе: $ 2,5 - 1,5 = 1 $, $ 3,5 - 2,5 = 1 $, и так далее. Разность постоянна и равна 1.

При $ d=1 $ тождество упрощается:

$ \frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{1} \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \right) = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} $

Представим сумму $ S_б $ как сумму разностей:

$ S_б = \left(\frac{1}{1,5} - \frac{1}{2,5}\right) + \left(\frac{1}{2,5} - \frac{1}{3,5}\right) + \left(\frac{1}{3,5} - \frac{1}{4,5}\right) + \dots + \left(\frac{1}{73,5} - \frac{1}{74,5}\right) $

Все промежуточные слагаемые сокращаются, и остаются только первое и последнее:

$ S_б = \frac{1}{1,5} - \frac{1}{74,5} $

Для вычисления преобразуем десятичные дроби в обыкновенные: $ 1,5 = \frac{3}{2} $ и $ 74,5 = \frac{149}{2} $.

$ S_б = \frac{1}{3/2} - \frac{1}{149/2} = \frac{2}{3} - \frac{2}{149} $

Приведем дроби к общему знаменателю $ 3 \cdot 149 = 447 $:

$ S_б = \frac{2 \cdot 149}{447} - \frac{2 \cdot 3}{447} = \frac{298 - 6}{447} = \frac{292}{447} $

Ответ: $ \frac{292}{447} $