Номер 6.13, страница 40, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

6.13. Используя тождество из 6.11, докажите неравенство:

a) $\frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + \dots + \frac{1}{n(n+1)} < 1;$

б) $\frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + \dots + \frac{1}{98 \cdot 99} < 0,99;$

В) $\frac{1}{1 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 7} + \dots + \frac{1}{(2n-1)(2n+1)} < 0,5;$

Г) $\frac{1}{1 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 7} + \dots + \frac{1}{997 \cdot 999} < 0,4996.$

Для решения задачи воспользуемся методом телескопических сумм. Тождество, упомянутое в условии, представляет собой разложение дробей на простейшие.

а)

Для доказательства неравенства $\frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + \dots + \frac{1}{n(n+1)} < 1$ представим общий член суммы $\frac{1}{k(k+1)}$ в виде разности двух дробей (это и есть искомое тождество):

$\frac{1}{k(k+1)} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}$

Теперь сумма $S_n$ превращается в телескопический ряд:

$S_n = \sum_{k=1}^{n} \left(\frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}\right) = \left(\frac{1}{1} - \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) + \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{4}\right) + \dots + \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}\right)$

Все промежуточные слагаемые взаимно уничтожаются, и остается только первый и последний члены:

$S_n = 1 - \frac{1}{n+1}$

Требуется доказать, что $S_n < 1$. Подставим полученное выражение для суммы:

$1 - \frac{1}{n+1} < 1$

Поскольку по условию $n$ — натуральное число ($n \ge 1$), то $n+1 > 1$, а значит $\frac{1}{n+1} > 0$. Вычитая положительное число из единицы, мы всегда получаем результат, который меньше единицы. Таким образом, неравенство доказано.

Ответ: Доказано, что сумма всегда меньше 1, так как она равна $1 - \frac{1}{n+1}$.

б)

Это частный случай предыдущей задачи, где $n=98$. Сумма равна:

$S_{98} = \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + \dots + \frac{1}{98 \cdot 99}$

Используя формулу $S_n = 1 - \frac{1}{n+1}$ из пункта а), находим значение суммы:

$S_{98} = 1 - \frac{1}{98+1} = 1 - \frac{1}{99} = \frac{98}{99}$

Теперь докажем неравенство $\frac{98}{99} < 0,99$. Представим $0,99$ в виде обыкновенной дроби: $0,99 = \frac{99}{100}$.

Сравним дроби: $\frac{98}{99} < \frac{99}{100}$.

Так как знаменатели положительны, можно применить перекрестное умножение:

$98 \cdot 100 < 99 \cdot 99$

$9800 < 9801$

Неравенство верно, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что сумма равна $\frac{98}{99} \approx 0.9898...$, что меньше $0,99$.

в)

Для доказательства неравенства $\frac{1}{1 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 7} + \dots + \frac{1}{(2n-1)(2n+1)} < 0,5$ используем другое тождество для общего члена $\frac{1}{(2k-1)(2k+1)}$:

$\frac{1}{(2k-1)(2k+1)} = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2k-1} - \frac{1}{2k+1}\right)$

Сумма $S_n$ снова является телескопической:

$S_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2k-1} - \frac{1}{2k+1}\right) = \frac{1}{2}\left[ \left(\frac{1}{1} - \frac{1}{3}\right) + \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{5}\right) + \dots + \left(\frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n+1}\right) \right]$

После сокращения получаем:

$S_n = \frac{1}{2}\left(1 - \frac{1}{2n+1}\right)$

Докажем неравенство $S_n < 0,5$. Заметим, что $0,5 = \frac{1}{2}$.

$\frac{1}{2}\left(1 - \frac{1}{2n+1}\right) < \frac{1}{2}$

Умножим обе части на 2:

$1 - \frac{1}{2n+1} < 1$

Поскольку $n \ge 1$, то $2n+1 > 1$, и $\frac{1}{2n+1}$ является положительным числом. Вычитание положительного числа из единицы дает результат меньше единицы, поэтому неравенство доказано.

Ответ: Доказано, что сумма всегда меньше 0,5, так как она равна $\frac{1}{2}\left(1 - \frac{1}{2n+1}\right)$.

г)

Эта задача — частный случай пункта в). Последний член суммы равен $\frac{1}{997 \cdot 999}$. Найдем $n$ из условия $2n-1 = 997$:

$2n = 998 \implies n = 499$

Подставим $n=499$ в формулу для суммы из пункта в):

$S_{499} = \frac{1}{2}\left(1 - \frac{1}{2(499)+1}\right) = \frac{1}{2}\left(1 - \frac{1}{999}\right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{998}{999} = \frac{499}{999}$

Теперь докажем неравенство $\frac{499}{999} < 0,4996$. Запишем $0,4996$ в виде дроби $\frac{4996}{10000}$.

Сравним дроби: $\frac{499}{999} < \frac{4996}{10000}$.

Воспользуемся перекрестным умножением:

$499 \cdot 10000 < 999 \cdot 4996$

$4990000 < (1000 - 1) \cdot 4996$

$4990000 < 4996000 - 4996$

$4990000 < 4991004$

Неравенство верно.

Ответ: Доказано, что сумма равна $\frac{499}{999} \approx 0.499499...$, что меньше $0,4996$.