Номер 6.16, страница 41, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

Докажите, что для любого натурального $n$ выполняется

неравенство:

6.16. a) $\frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \dots + \frac{1}{(n+1)^2} < 1;$

б) $\frac{1}{5^2} + \frac{1}{9^2} + \frac{1}{13^2} + \dots + \frac{1}{(4n+1)^2} < \frac{1}{4}.$

а)

Рассмотрим сумму $S = \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \dots + \frac{1}{(n+1)^2}$. Для любого натурального числа $k > 1$ выполняется неравенство $k^2 > k(k-1)$. Следовательно, для каждого слагаемого суммы справедливо неравенство $\frac{1}{k^2} < \frac{1}{k(k-1)}$. Применим это к каждому члену нашей суммы: $$ \frac{1}{2^2} < \frac{1}{1 \cdot 2} $$ $$ \frac{1}{3^2} < \frac{1}{2 \cdot 3} $$ $$ \frac{1}{4^2} < \frac{1}{3 \cdot 4} $$ $$ \dots $$ $$ \frac{1}{(n+1)^2} < \frac{1}{n(n+1)} $$ Таким образом, исходная сумма меньше, чем сумма больших дробей: $$ S < \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + \dots + \frac{1}{n(n+1)} $$ Представим каждую дробь вида $\frac{1}{k(k-1)}$ в виде разности двух дробей (метод неопределенных коэффициентов или разложение на простейшие дроби): $$ \frac{1}{k(k-1)} = \frac{1}{k-1} - \frac{1}{k} $$ Теперь наша новая сумма представляет собой телескопический ряд: $$ \left(\frac{1}{1} - \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) + \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{4}\right) + \dots + \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}\right) $$ Все промежуточные члены взаимно уничтожаются, и сумма равна разности первого и последнего членов: $$ 1 - \frac{1}{n+1} $$ Мы получили, что $S < 1 - \frac{1}{n+1}$. Поскольку $n$ — натуральное число, то $n \ge 1$, и следовательно, $n+1 \ge 2$. Отсюда $\frac{1}{n+1} > 0$. Значит, $1 - \frac{1}{n+1} < 1$. Окончательно получаем: $$ \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \dots + \frac{1}{(n+1)^2} < 1 - \frac{1}{n+1} < 1 $$ Что и требовалось доказать.

Ответ: Неравенство доказано.

б)

Рассмотрим сумму $S = \frac{1}{5^2} + \frac{1}{9^2} + \frac{1}{13^2} + \dots + \frac{1}{(4n+1)^2}$. Знаменатели дробей $5, 9, 13, \dots, 4n+1$ образуют арифметическую прогрессию. Общий член этой последовательности можно записать как $4k+1$ для $k=1, 2, 3, \dots, n$. Таким образом, сумма имеет вид $S = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{(4k+1)^2}$. Для доказательства неравенства воспользуемся методом сравнения. Сравним каждый член ряда с большей дробью, сумма которых легко вычисляется. Заметим, что для любого $k \ge 1$ выполняется неравенство: $$ (4k+1)^2 = 16k^2 + 8k + 1 $$ Рассмотрим произведение $(4k-1)(4k+3)$: $$ (4k-1)(4k+3) = 16k^2 + 12k - 4k - 3 = 16k^2 + 8k - 3 $$ Поскольку $16k^2 + 8k + 1 > 16k^2 + 8k - 3$, то $(4k+1)^2 > (4k-1)(4k+3)$. Из этого следует, что $\frac{1}{(4k+1)^2} < \frac{1}{(4k-1)(4k+3)}$. Тогда исходная сумма меньше, чем следующая сумма: $$ S < \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{(4k-1)(4k+3)} $$ Представим дробь $\frac{1}{(4k-1)(4k+3)}$ в виде разности: $$ \frac{1}{(4k-1)(4k+3)} = \frac{1}{4} \left( \frac{1}{4k-1} - \frac{1}{4k+3} \right) $$ Тогда наша новая сумма является телескопической: $$ \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{4} \left( \frac{1}{4k-1} - \frac{1}{4k+3} \right) = \frac{1}{4} \sum_{k=1}^{n} \left( \frac{1}{4k-1} - \frac{1}{4k+3} \right) $$ Распишем члены суммы: $$ \frac{1}{4} \left[ \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{7}\right) + \left(\frac{1}{7} - \frac{1}{11}\right) + \left(\frac{1}{11} - \frac{1}{15}\right) + \dots + \left(\frac{1}{4n-1} - \frac{1}{4n+3}\right) \right] $$ Промежуточные члены сокращаются, и мы получаем: $$ \frac{1}{4} \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{4n+3} \right) $$ Итак, мы установили, что $S < \frac{1}{4} \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{4n+3} \right)$. Поскольку $n$ — натуральное число, $n \ge 1$, то $4n+3 > 0$, и $\frac{1}{4n+3} > 0$. Следовательно, $\frac{1}{3} - \frac{1}{4n+3} < \frac{1}{3}$. Тогда $$ S < \frac{1}{4} \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{4n+3} \right) < \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{12} $$ Так как $\frac{1}{12} < \frac{1}{4}$, то и исходная сумма $S$ тем более меньше $\frac{1}{4}$. Неравенство доказано.

Ответ: Неравенство доказано.