Номер 6.10, страница 39, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

6.10. Докажите, что для любого $n \in N$ выполняется равенство:

a) $1 \cdot 1! + 2 \cdot 2! + 3 \cdot 3! + \dots + n \cdot n! = (n + 1)! - 1;$

б) $\frac{1}{2!} + \frac{2}{3!} + \frac{3}{4!} + \dots + \frac{n}{(n+1)!} = 1 - \frac{1}{(n+1)!}.$

а) Докажем данное равенство методом математической индукции.

Пусть $S(n)$ — это утверждение $1 \cdot 1! + 2 \cdot 2! + 3 \cdot 3! + \dots + n \cdot n! = (n + 1)! - 1$.

1. База индукции (при $n=1$)

Проверим, верно ли равенство для $n=1$.

Левая часть: $1 \cdot 1! = 1$.

Правая часть: $(1 + 1)! - 1 = 2! - 1 = 2 - 1 = 1$.

Так как левая и правая части равны, база индукции верна.

2. Шаг индукции

Предположим, что утверждение $S(k)$ верно для некоторого натурального числа $k \ge 1$ (это наше индукционное предположение):

$1 \cdot 1! + 2 \cdot 2! + \dots + k \cdot k! = (k + 1)! - 1$.

Докажем, что из этого следует верность утверждения $S(k+1)$, то есть:

$1 \cdot 1! + 2 \cdot 2! + \dots + k \cdot k! + (k+1) \cdot (k+1)! = ((k+1)+1)! - 1 = (k+2)! - 1$.

Рассмотрим левую часть равенства для $S(k+1)$.

$\underbrace{1 \cdot 1! + 2 \cdot 2! + \dots + k \cdot k!}_{} + (k+1) \cdot (k+1)!$

Используя индукционное предположение, заменим сумму первых $k$ слагаемых:

$((k+1)! - 1) + (k+1) \cdot (k+1)!$

Сгруппируем слагаемые и вынесем общий множитель $(k+1)!$ за скобки:

$(k+1)! \cdot (1 + (k+1)) - 1 = (k+1)! \cdot (k+2) - 1$

По определению факториала, $(k+2) \cdot (k+1)! = (k+2)!$. Следовательно, мы получаем:

$(k+2)! - 1$

Это в точности совпадает с правой частью равенства для $S(k+1)$. Шаг индукции доказан.

По принципу математической индукции, равенство доказано для любого натурального $n$.

Ответ: Доказано.

б) Докажем данное равенство методом математической индукции.

Пусть $P(n)$ — это утверждение $\frac{1}{2!} + \frac{2}{3!} + \frac{3}{4!} + \dots + \frac{n}{(n+1)!} = 1 - \frac{1}{(n+1)!}$.

1. База индукции (при $n=1$)

Проверим, верно ли равенство для $n=1$.

Левая часть: $\frac{1}{(1+1)!} = \frac{1}{2!} = \frac{1}{2}$.

Правая часть: $1 - \frac{1}{(1+1)!} = 1 - \frac{1}{2!} = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.

Так как левая и правая части равны, база индукции верна.

2. Шаг индукции

Предположим, что утверждение $P(k)$ верно для некоторого натурального числа $k \ge 1$ (индукционное предположение):

$\frac{1}{2!} + \frac{2}{3!} + \dots + \frac{k}{(k+1)!} = 1 - \frac{1}{(k+1)!}$.

Докажем, что тогда верно и утверждение $P(k+1)$, то есть:

$\frac{1}{2!} + \frac{2}{3!} + \dots + \frac{k}{(k+1)!} + \frac{k+1}{((k+1)+1)!} = 1 - \frac{1}{((k+1)+1)!}$

$\frac{1}{2!} + \frac{2}{3!} + \dots + \frac{k}{(k+1)!} + \frac{k+1}{(k+2)!} = 1 - \frac{1}{(k+2)!}$.

Рассмотрим левую часть равенства для $P(k+1)$.

$\underbrace{\frac{1}{2!} + \frac{2}{3!} + \dots + \frac{k}{(k+1)!}}_{} + \frac{k+1}{(k+2)!}$

Используя индукционное предположение, заменим сумму:

$(1 - \frac{1}{(k+1)!}) + \frac{k+1}{(k+2)!} = 1 - \left(\frac{1}{(k+1)!} - \frac{k+1}{(k+2)!}\right)$

Приведем дроби в скобках к общему знаменателю $(k+2)!$:

$1 - \left(\frac{k+2}{(k+2) \cdot (k+1)!} - \frac{k+1}{(k+2)!}\right) = 1 - \left(\frac{k+2}{(k+2)!} - \frac{k+1}{(k+2)!}\right)$

Выполним вычитание дробей:

$1 - \frac{(k+2) - (k+1)}{(k+2)!} = 1 - \frac{k+2 - k - 1}{(k+2)!} = 1 - \frac{1}{(k+2)!}$

Это совпадает с правой частью равенства для $P(k+1)$. Шаг индукции доказан.

По принципу математической индукции, равенство доказано для любого натурального $n$.

Ответ: Доказано.