Номер 6.3, страница 38, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

6.3. a) $1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + \dots + n(-1)^{n+1};$

б) $-1^2 + 2^2 - 3^2 + 4^2 - 5^2 + \dots + (-1)^n n^2;$

в) $0 + 3 + 2 + 5 + 4 + 7 + 6 + \dots + (n + (-1)^n);$

г) $2 - 6 + 12 - 20 + \dots + (-1)^{n+1}(n^2 + n).$

а) $1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + ... + n(-1)^{n+1}$

Решение:

Обозначим искомую сумму через $S_n$. Общий член ряда $a_k = k(-1)^{k+1}$. Для нахождения суммы рассмотрим два случая в зависимости от четности $n$.

1. Пусть $n$ — четное число, то есть $n = 2m$ для некоторого целого $m \ge 1$. Сгруппируем слагаемые попарно:

$S_n = S_{2m} = (1 - 2) + (3 - 4) + (5 - 6) + ... + ((2m-1) - 2m)$

Каждая пара в скобках дает в сумме $-1$. Всего таких пар $m = n/2$.

Следовательно, при четном $n$ сумма равна: $S_n = m \cdot (-1) = -m = -\frac{n}{2}$.

2. Пусть $n$ — нечетное число, то есть $n = 2m+1$ для некоторого целого $m \ge 0$. Сумму можно представить как сумму первых $2m$ членов и последнего, $(n)$-го члена:

$S_n = S_{2m+1} = S_{2m} + a_{2m+1} = S_{2m} + (2m+1)(-1)^{(2m+1)+1}$

Сумма первых $2m$ членов равна $-m$, как мы выяснили в первом случае. Последний член равен $(2m+1)(-1)^{2m+2} = 2m+1$.

Тогда $S_n = -m + (2m+1) = m+1$.

Так как $n = 2m+1$, выразим $m$ через $n$: $m = \frac{n-1}{2}$.

Следовательно, при нечетном $n$ сумма равна: $S_n = \frac{n-1}{2} + 1 = \frac{n-1+2}{2} = \frac{n+1}{2}$.

Объединяя оба случая, получаем:

Ответ: $S_n = \begin{cases} -n/2, & \text{если n четное} \\ (n+1)/2, & \text{если n нечетное} \end{cases}$

б) $-1^2 + 2^2 - 3^2 + 4^2 - 5^2 + ... + (-1)^n n^2$

Решение:

Обозначим сумму через $S_n$. Общий член ряда $a_k = (-1)^k k^2$. Как и в предыдущей задаче, рассмотрим два случая.

1. Пусть $n$ — четное число, $n = 2m$. Сгруппируем слагаемые попарно:

$S_n = S_{2m} = (-1^2 + 2^2) + (-3^2 + 4^2) + ... + (-(2m-1)^2 + (2m)^2)$

Каждую пару преобразуем, используя формулу разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$:

$(2j)^2 - (2j-1)^2 = (2j - (2j-1))(2j + (2j-1)) = 1 \cdot (4j-1) = 4j-1$.

Тогда сумма $S_{2m}$ является суммой арифметической прогрессии:

$S_{2m} = \sum_{j=1}^{m} (4j-1) = 4\sum_{j=1}^{m}j - \sum_{j=1}^{m}1 = 4 \frac{m(m+1)}{2} - m = 2m(m+1) - m = 2m^2 + m = m(2m+1)$.

Подставляя $m=n/2$, получаем: $S_n = \frac{n}{2}(n+1) = \frac{n(n+1)}{2}$.

2. Пусть $n$ — нечетное число, $n = 2m+1$.

$S_n = S_{2m+1} = S_{2m} + a_{2m+1} = S_{2m} + (-1)^{2m+1}(2m+1)^2 = S_{2m} - (2m+1)^2$.

Используя результат для $S_{2m}$, получаем:

$S_{2m+1} = m(2m+1) - (2m+1)^2 = (2m+1)(m - (2m+1)) = (2m+1)(-m-1) = - (m+1)(2m+1)$.

Подставляя $m+1 = \frac{n+1}{2}$ и $2m+1 = n$, получаем: $S_n = - \frac{n+1}{2} \cdot n = -\frac{n(n+1)}{2}$.

Объединяя оба случая в одну формулу с помощью множителя $(-1)^n$:

Ответ: $S_n = (-1)^n \frac{n(n+1)}{2}$.

в) $0 + 3 + 2 + 5 + 4 + 7 + 6 + ... + (n + (-1)^n)$

Решение:

Общий член ряда $a_k = k + (-1)^k$. Сумма $S_n = \sum_{k=1}^{n} a_k$. Разобьем сумму на две части:

$S_n = \sum_{k=1}^{n} (k + (-1)^k) = \sum_{k=1}^{n} k + \sum_{k=1}^{n} (-1)^k$.

Первая сумма — это сумма первых $n$ натуральных чисел, которая равна $\frac{n(n+1)}{2}$.

Вторая сумма — это сумма знакочередующегося ряда $\sum_{k=1}^{n} (-1)^k = -1 + 1 - 1 + 1 - ... + (-1)^n$.

Если $n$ — четное, слагаемые попарно уничтожаются, и сумма равна $0$.

Если $n$ — нечетное, то после попарного сокращения остается последнее слагаемое $-1$, и сумма равна $-1$.

Таким образом, $\sum_{k=1}^{n} (-1)^k = \begin{cases} 0, & \text{если n четное} \\ -1, & \text{если n нечетное} \end{cases}$. Это можно записать одной формулой как $\frac{(-1)^n-1}{2}$.

Складывая обе части, получаем итоговую формулу:

Ответ: $S_n = \frac{n(n+1)}{2} + \frac{(-1)^n - 1}{2} = \frac{n^2 + n + (-1)^n - 1}{2}$.

г) $2 - 6 + 12 - 20 + ... + (-1)^{n+1}(n^2 + n)$

Решение:

Общий член ряда $a_k = (-1)^{k+1}(k^2+k)$. Сумма $S_n = \sum_{k=1}^{n} a_k$. Разобьем сумму на две, как в предыдущей задаче:

$S_n = \sum_{k=1}^{n} (-1)^{k+1}(k^2+k) = \sum_{k=1}^{n} (-1)^{k+1}k^2 + \sum_{k=1}^{n} (-1)^{k+1}k$.

Первая сумма: $\sum_{k=1}^{n} (-1)^{k+1}k^2 = 1^2 - 2^2 + 3^2 - ... + (-1)^{n+1}n^2$. Эта сумма равна $-\sum_{k=1}^{n} (-1)^{k}k^2$, что является суммой из пункта б) с противоположным знаком. Из пункта б) мы знаем, что $\sum_{k=1}^{n} (-1)^k k^2 = (-1)^n \frac{n(n+1)}{2}$. Значит, первая сумма равна $-(-1)^n \frac{n(n+1)}{2} = (-1)^{n+1} \frac{n(n+1)}{2}$.

Вторая сумма: $\sum_{k=1}^{n} (-1)^{k+1}k = 1 - 2 + 3 - ... + (-1)^{n+1}n$. Это в точности сумма из пункта а). Из пункта а) мы знаем, что эта сумма равна $S_{a,n} = \begin{cases} -n/2, & \text{если n четное} \\ (n+1)/2, & \text{если n нечетное} \end{cases}$. Эту зависимость можно выразить через функцию "округление вверх": $S_{a,n} = (-1)^{n+1} \lceil \frac{n}{2} \rceil$.

Складываем обе части:

$S_n = (-1)^{n+1} \frac{n(n+1)}{2} + (-1)^{n+1} \lceil \frac{n}{2} \rceil = (-1)^{n+1} \left( \frac{n(n+1)}{2} + \lceil \frac{n}{2} \rceil \right)$.

Можно также представить ответ в зависимости от четности $n$:

1. Если $n$ четное: $S_n = (-1)^{n+1} \left( \frac{n(n+1)}{2} + \frac{n}{2} \right) = -1 \left( \frac{n^2+n+n}{2} \right) = -\frac{n^2+2n}{2} = -\frac{n(n+2)}{2}$.

2. Если $n$ нечетное: $S_n = (-1)^{n+1} \left( \frac{n(n+1)}{2} + \frac{n+1}{2} \right) = 1 \left( \frac{(n+1)(n+1)}{2} \right) = \frac{(n+1)^2}{2}$.

Ответ: $S_n = \begin{cases} -n(n+2)/2, & \text{если n четное} \\ (n+1)^2/2, & \text{если n нечетное} \end{cases}$