Номер 5.16, страница 37, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

Решите неравенство:

5.16. a) $|x + 4| < 2x;$

б) $|x^2 - 4x| < 3x;$

в) $|x - 14| \le 8 + 2x;$

г) $|x^2 + 7x| \le 4x + 10.$

а) $|x + 4| < 2x$

Неравенство вида $|f(x)| < g(x)$ равносильно системе неравенств:

$$ \begin{cases} g(x) > 0 \\ -g(x) < f(x) < g(x) \end{cases} $$

Применяя это правило к исходному неравенству, получаем систему:

$$ \begin{cases} 2x > 0 \\ -2x < x + 4 < 2x \end{cases} $$

Решим первое неравенство системы:

$2x > 0 \implies x > 0$.

Решим второе, двойное, неравенство. Его можно представить в виде системы из двух неравенств:

$$ \begin{cases} x + 4 > -2x \\ x + 4 < 2x \end{cases} $$

Решаем каждое из них:

1) $x + 4 > -2x \implies 3x > -4 \implies x > -\frac{4}{3}$.

2) $x + 4 < 2x \implies 4 < x$.

Теперь необходимо найти пересечение всех полученных решений:

$$ \begin{cases} x > 0 \\ x > -\frac{4}{3} \\ x > 4 \end{cases} $$

Общим решением для этой системы является $x > 4$.

Ответ: $x \in (4, +\infty)$.

б) $|x^2 - 4x| < 3x$

Данное неравенство также имеет вид $|f(x)| < g(x)$, поэтому оно равносильно системе:

$$ \begin{cases} 3x > 0 \\ -3x < x^2 - 4x < 3x \end{cases} $$

Из первого неравенства получаем $x > 0$.

Второе двойное неравенство $ -3x < x^2 - 4x < 3x $ разбиваем на систему:

$$ \begin{cases} x^2 - 4x > -3x \\ x^2 - 4x < 3x \end{cases} $$

Решаем каждое неравенство:

1) $x^2 - 4x > -3x \implies x^2 - x > 0 \implies x(x - 1) > 0$.

Корни уравнения $x(x-1)=0$ равны $x=0$ и $x=1$. Так как это парабола с ветвями вверх, неравенство выполняется при $x \in (-\infty, 0) \cup (1, +\infty)$.

2) $x^2 - 4x < 3x \implies x^2 - 7x < 0 \implies x(x - 7) < 0$.

Корни уравнения $x(x-7)=0$ равны $x=0$ и $x=7$. Так как это парабола с ветвями вверх, неравенство выполняется при $x \in (0, 7)$.

Объединим все условия в одну систему и найдем пересечение решений:

$$ \begin{cases} x > 0 \\ x \in (-\infty, 0) \cup (1, +\infty) \\ x \in (0, 7) \end{cases} $$

Из первого и третьего условий получаем, что $x \in (0, 7)$. Пересекая этот интервал со вторым условием $(-\infty, 0) \cup (1, +\infty)$, получаем итоговый интервал $(1, 7)$.

Ответ: $x \in (1, 7)$.

в) $|x - 14| \le 8 + 2x$

Неравенство вида $|f(x)| \le g(x)$ равносильно системе неравенств:

$$ \begin{cases} g(x) \ge 0 \\ -g(x) \le f(x) \le g(x) \end{cases} $$

Применяя это правило, получаем:

$$ \begin{cases} 8 + 2x \ge 0 \\ -(8 + 2x) \le x - 14 \le 8 + 2x \end{cases} $$

Решаем первое неравенство: $8 + 2x \ge 0 \implies 2x \ge -8 \implies x \ge -4$.

Решаем второе двойное неравенство, разбив его на систему:

$$ \begin{cases} x - 14 \ge -(8 + 2x) \\ x - 14 \le 8 + 2x \end{cases} $$

Решаем каждое из них:

1) $x - 14 \ge -8 - 2x \implies 3x \ge 6 \implies x \ge 2$.

2) $x - 14 \le 8 + 2x \implies -22 \le x$.

Теперь найдем пересечение всех полученных решений:

$$ \begin{cases} x \ge -4 \\ x \ge 2 \\ x \ge -22 \end{cases} $$

Общим решением для этой системы является $x \ge 2$.

Ответ: $x \in [2, +\infty)$.

г) $|x^2 + 7x| \le 4x + 10$

Данное неравенство также имеет вид $|f(x)| \le g(x)$, поэтому оно равносильно системе:

$$ \begin{cases} 4x + 10 \ge 0 \\ -(4x + 10) \le x^2 + 7x \le 4x + 10 \end{cases} $$

Из первого неравенства: $4x \ge -10 \implies x \ge -2.5$.

Второе двойное неравенство $-(4x + 10) \le x^2 + 7x \le 4x + 10$ разбиваем на систему:

$$ \begin{cases} x^2 + 7x \ge -(4x + 10) \\ x^2 + 7x \le 4x + 10 \end{cases} $$

Решаем каждое неравенство:

1) $x^2 + 7x \ge -4x - 10 \implies x^2 + 11x + 10 \ge 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 + 11x + 10 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = -1$, $x_2 = -10$. Неравенство $(x+1)(x+10) \ge 0$ выполняется при $x \in (-\infty, -10] \cup [-1, +\infty)$.

2) $x^2 + 7x \le 4x + 10 \implies x^2 + 3x - 10 \le 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 + 3x - 10 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 2$, $x_2 = -5$. Неравенство $(x-2)(x+5) \le 0$ выполняется при $x \in [-5, 2]$.

Объединим все условия в одну систему и найдем пересечение решений:

$$ \begin{cases} x \ge -2.5 \\ x \in (-\infty, -10] \cup [-1, +\infty) \\ x \in [-5, 2] \end{cases} $$

Пересечение первого и третьего условий ($x \ge -2.5$ и $x \in [-5, 2]$) дает промежуток $x \in [-2.5, 2]$.

Теперь найдем пересечение полученного промежутка $[-2.5, 2]$ со вторым условием $x \in (-\infty, -10] \cup [-1, +\infty)$.

Пересечение $[-2.5, 2]$ и $[-1, +\infty)$ дает итоговый промежуток $[-1, 2]$.

Ответ: $x \in [-1, 2]$.