Номер 5.13, страница 37, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

Часть 2. Глава 1. Действительные числа. Параграф 5. Модуль действительного числа - номер 5.13, страница 37.

Условие.

Решите уравнение:

5.13. a) $|x + 4| = 5;$

б) $|x - 4| = |10 - x|;$

в) $|x - 4| = 15;$

г) $|x - 4| = |5x|.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

а) $|x + 4| = 5$

Уравнение с модулем вида $|A| = B$ (где $B \ge 0$) равносильно совокупности двух уравнений: $A = B$ и $A = -B$.

Раскроем модуль, рассмотрев два случая:

1) $x + 4 = 5$

$x = 5 - 4$

$x = 1$

2) $x + 4 = -5$

$x = -5 - 4$

$x = -9$

Следовательно, уравнение имеет два корня.

Ответ: $x_1 = 1$, $x_2 = -9$.

б) $|x - 4| = |10 - x|$

Уравнение вида $|A| = |B|$ равносильно совокупности двух уравнений: $A = B$ и $A = -B$.

Рассмотрим первый случай:

$x - 4 = 10 - x$

$x + x = 10 + 4$

$2x = 14$

$x = 7$

Рассмотрим второй случай:

$x - 4 = -(10 - x)$

$x - 4 = -10 + x$

$x - x = -10 + 4$

$0 = -6$

Полученное равенство неверно, значит во втором случае решений нет.

Ответ: $x = 7$.

в) $|x - 4| = 15$

Это уравнение, как и в пункте а), эквивалентно двум случаям:

1) $x - 4 = 15$

$x = 15 + 4$

$x = 19$

2) $x - 4 = -15$

$x = -15 + 4$

$x = -11$

Уравнение имеет два корня.

Ответ: $x_1 = 19$, $x_2 = -11$.

г) $|x - 4| = |5x|$

Уравнение вида $|A| = |B|$ также решается рассмотрением двух случаев: $A=B$ и $A=-B$.

Первый случай:

$x - 4 = 5x$

$x - 5x = 4$

$-4x = 4$

$x = -1$

Второй случай:

$x - 4 = -5x$

$x + 5x = 4$

$6x = 4$

$x = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$

Проверим найденные корни.
При $x = -1$: $|-1 - 4| = |5 \cdot (-1)| \implies |-5| = |-5| \implies 5 = 5$. Корень верный.
При $x = \frac{2}{3}$: $|\frac{2}{3} - 4| = |5 \cdot \frac{2}{3}| \implies |\frac{2-12}{3}| = |\frac{10}{3}| \implies |-\frac{10}{3}| = |\frac{10}{3}| \implies \frac{10}{3} = \frac{10}{3}$. Корень верный.

Ответ: $x_1 = -1$, $x_2 = \frac{2}{3}$.