Номер 5.10, страница 36, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

5.10. а) $\sqrt{\pi^2 - 8\pi + 16};$

б) $\sqrt{(2 - \sqrt{5})^2} + \sqrt{(3 - \sqrt{5})^2};$

в) $\sqrt{4\pi^2 - 28\pi + 49};$

г) $\sqrt{(2,7 - \sqrt{7})^2} - \sqrt{(2,6 - \sqrt{7})^2}.$

а) $\sqrt{\pi^2 - 8\pi + 16}$

Выражение под корнем, $\pi^2 - 8\pi + 16$, является полным квадратом разности. Воспользуемся формулой квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. В нашем случае $a = \pi$ и $b = 4$. Проверим: $a^2 = \pi^2$, $b^2 = 4^2 = 16$, $2ab = 2 \cdot \pi \cdot 4 = 8\pi$. Таким образом, $\pi^2 - 8\pi + 16 = (\pi - 4)^2$.

Исходное выражение можно переписать как $\sqrt{(\pi - 4)^2}$. Используя свойство арифметического квадратного корня $\sqrt{x^2} = |x|$, получаем: $\sqrt{(\pi - 4)^2} = |\pi - 4|$.

Чтобы раскрыть модуль, нужно определить знак выражения $\pi - 4$. Поскольку число $\pi \approx 3,14$, то $\pi < 4$. Следовательно, разность $\pi - 4$ отрицательна. Модуль отрицательного числа равен противоположному ему числу: $|\pi - 4| = -(\pi - 4) = 4 - \pi$.

Ответ: $4 - \pi$.

б) $\sqrt{(2 - \sqrt{5})^2} + \sqrt{(3 - \sqrt{5})^2}$

Применим свойство $\sqrt{x^2} = |x|$ к каждому слагаемому: $\sqrt{(2 - \sqrt{5})^2} + \sqrt{(3 - \sqrt{5})^2} = |2 - \sqrt{5}| + |3 - \sqrt{5}|$.

Определим знаки выражений под модулями. Для первого слагаемого сравним $2$ и $\sqrt{5}$. Поскольку $2^2 = 4$ и $(\sqrt{5})^2 = 5$, а $4 < 5$, то $2 < \sqrt{5}$. Значит, разность $2 - \sqrt{5}$ отрицательна. Следовательно, $|2 - \sqrt{5}| = -(2 - \sqrt{5}) = \sqrt{5} - 2$.

Для второго слагаемого сравним $3$ и $\sqrt{5}$. Поскольку $3^2 = 9$ и $(\sqrt{5})^2 = 5$, а $9 > 5$, то $3 > \sqrt{5}$. Значит, разность $3 - \sqrt{5}$ положительна. Следовательно, $|3 - \sqrt{5}| = 3 - \sqrt{5}$.

Теперь сложим полученные выражения: $(\sqrt{5} - 2) + (3 - \sqrt{5}) = \sqrt{5} - 2 + 3 - \sqrt{5} = 1$.

Ответ: $1$.

в) $\sqrt{4\pi^2 - 28\pi + 49}$

Выражение под корнем, $4\pi^2 - 28\pi + 49$, является полным квадратом разности. Используем формулу $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. В данном случае $a = 2\pi$ и $b = 7$. Проверим: $a^2 = (2\pi)^2 = 4\pi^2$, $b^2 = 7^2 = 49$, $2ab = 2 \cdot 2\pi \cdot 7 = 28\pi$. Таким образом, $4\pi^2 - 28\pi + 49 = (2\pi - 7)^2$.

Исходное выражение принимает вид $\sqrt{(2\pi - 7)^2}$. По свойству корня $\sqrt{x^2} = |x|$, получаем: $\sqrt{(2\pi - 7)^2} = |2\pi - 7|$.

Определим знак выражения $2\pi - 7$. Приближенное значение $\pi \approx 3,14$, тогда $2\pi \approx 2 \cdot 3,14 = 6,28$. Так как $6,28 < 7$, то $2\pi < 7$. Следовательно, разность $2\pi - 7$ отрицательна. Раскрываем модуль: $|2\pi - 7| = -(2\pi - 7) = 7 - 2\pi$.

Ответ: $7 - 2\pi$.

г) $\sqrt{(2,7 - \sqrt{7})^2} - \sqrt{(2,6 - \sqrt{7})^2}$

Используем свойство $\sqrt{x^2} = |x|$ для уменьшаемого и вычитаемого: $\sqrt{(2,7 - \sqrt{7})^2} - \sqrt{(2,6 - \sqrt{7})^2} = |2,7 - \sqrt{7}| - |2,6 - \sqrt{7}|$.

Определим знаки подмодульных выражений. Для первого модуля сравним $2,7$ и $\sqrt{7}$. Возведем оба числа в квадрат: $2,7^2 = 7,29$ и $(\sqrt{7})^2 = 7$. Так как $7,29 > 7$, то $2,7 > \sqrt{7}$. Значит, разность $2,7 - \sqrt{7}$ положительна. Следовательно, $|2,7 - \sqrt{7}| = 2,7 - \sqrt{7}$.

Для второго модуля сравним $2,6$ и $\sqrt{7}$. Возведем в квадрат: $2,6^2 = 6,76$ и $(\sqrt{7})^2 = 7$. Так как $6,76 < 7$, то $2,6 < \sqrt{7}$. Значит, разность $2,6 - \sqrt{7}$ отрицательна. Следовательно, $|2,6 - \sqrt{7}| = -(2,6 - \sqrt{7}) = \sqrt{7} - 2,6$.

Подставим раскрытые модули в исходное выражение: $(2,7 - \sqrt{7}) - (\sqrt{7} - 2,6) = 2,7 - \sqrt{7} - \sqrt{7} + 2,6 = (2,7 + 2,6) - (\sqrt{7} + \sqrt{7}) = 5,3 - 2\sqrt{7}$.

Ответ: $5,3 - 2\sqrt{7}$.