Номер 5.3, страница 35, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

5.3. При каких значениях x верно равенство:

а) $|x| = x;$

б) $|x - 7| = x - 7;$

в) $|x| = -x;$

г) $|x^2 - 7x + 12| = 7x - x^2 - 12?$

а) Равенство вида $|A| = A$ верно тогда и только тогда, когда выражение, стоящее под знаком модуля, неотрицательно, то есть $A \ge 0$. В данном случае $A = x$. Следовательно, равенство $|x| = x$ верно при всех неотрицательных значениях $x$.
Неравенство: $x \ge 0$.
Решение в виде промежутка: $x \in [0; +\infty)$.
Ответ: $x \ge 0$ или $x \in [0; +\infty)$.

б) Данное равенство $|x - 7| = x - 7$ также имеет вид $|A| = A$, где $A = x - 7$. Оно будет верным, если подмодульное выражение $x - 7$ будет неотрицательным.
Решим неравенство:
$x - 7 \ge 0$
$x \ge 7$
Решение в виде промежутка: $x \in [7; +\infty)$.
Ответ: $x \ge 7$ или $x \in [7; +\infty)$.

в) Равенство вида $|A| = -A$ верно тогда и только тогда, когда выражение под знаком модуля неположительно, то есть $A \le 0$. В данном случае $A = x$. Следовательно, равенство $|x| = -x$ верно при всех неположительных значениях $x$.
Неравенство: $x \le 0$.
Решение в виде промежутка: $x \in (-\infty; 0]$.
Ответ: $x \le 0$ или $x \in (-\infty; 0]$.

г) Заметим, что правая часть равенства $|x^2 - 7x + 12| = 7x - x^2 - 12$ является противоположным выражением для подмодульного выражения: $7x - x^2 - 12 = -(x^2 - 7x + 12)$.
Таким образом, уравнение можно переписать в виде $|A| = -A$, где $A = x^2 - 7x + 12$.
Это равенство верно, когда подмодульное выражение неположительно:
$x^2 - 7x + 12 \le 0$
Для решения этого квадратного неравенства найдем корни уравнения $x^2 - 7x + 12 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 7, а их произведение равно 12. Следовательно, корни $x_1 = 3$ и $x_2 = 4$.
Графиком функции $y = x^2 - 7x + 12$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Значения функции неположительны ($y \le 0$) на отрезке между корнями.
Таким образом, решение неравенства: $3 \le x \le 4$.
Решение в виде промежутка: $x \in [3; 4]$.
Ответ: $3 \le x \le 4$ или $x \in [3; 4]$.