Номер 5.1, страница 35, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

5.1. Найдите модуль числа:

a) $ |1 - \sqrt{2}|; $

б) $ |\sqrt{3} - \sqrt{2}|; $

в) $ |2,2 - \sqrt{5}|; $

г) $ |\sqrt{6} - 2,5|. $

По определению, модуль (или абсолютная величина) числа $|x|$ равен самому числу, если оно неотрицательное, и противоположенному числу, если оно отрицательное.
$|x| = x$, если $x \ge 0$
$|x| = -x$, если $x < 0$
Чтобы найти модуль выражения, нужно определить знак этого выражения.

а) $|1 - \sqrt{2}|$

Сначала определим знак выражения $1 - \sqrt{2}$. Для этого сравним числа $1$ и $\sqrt{2}$.
Мы знаем, что $1 = \sqrt{1}$. Так как $1 < 2$, то $\sqrt{1} < \sqrt{2}$, а значит $1 < \sqrt{2}$.
Следовательно, разность $1 - \sqrt{2}$ отрицательна.
По определению модуля для отрицательного числа: $|1 - \sqrt{2}| = -(1 - \sqrt{2}) = -1 + \sqrt{2} = \sqrt{2} - 1$.
Ответ: $\sqrt{2} - 1$.

б) $|\sqrt{3} - \sqrt{2}|$

Определим знак выражения $\sqrt{3} - \sqrt{2}$. Сравним числа $\sqrt{3}$ и $\sqrt{2}$.
Так как функция $y = \sqrt{x}$ возрастающая, и $3 > 2$, то $\sqrt{3} > \sqrt{2}$.
Следовательно, разность $\sqrt{3} - \sqrt{2}$ положительна.
По определению модуля для положительного числа: $|\sqrt{3} - \sqrt{2}| = \sqrt{3} - \sqrt{2}$.
Ответ: $\sqrt{3} - \sqrt{2}$.

в) $|2,2 - \sqrt{5}|$

Определим знак выражения $2,2 - \sqrt{5}$. Для этого сравним числа $2,2$ и $\sqrt{5}$.
Так как оба числа положительны, мы можем сравнить их квадраты:
$(2,2)^2 = 4,84$
$(\sqrt{5})^2 = 5$
Поскольку $4,84 < 5$, то и $2,2 < \sqrt{5}$.
Следовательно, разность $2,2 - \sqrt{5}$ отрицательна.
По определению модуля: $|2,2 - \sqrt{5}| = -(2,2 - \sqrt{5}) = -2,2 + \sqrt{5} = \sqrt{5} - 2,2$.
Ответ: $\sqrt{5} - 2,2$.

г) $|\sqrt{6} - 2,5|$

Определим знак выражения $\sqrt{6} - 2,5$. Сравним числа $\sqrt{6}$ и $2,5$.
Возведем оба положительных числа в квадрат:
$(\sqrt{6})^2 = 6$
$(2,5)^2 = 6,25$
Поскольку $6 < 6,25$, то и $\sqrt{6} < 2,5$.
Следовательно, разность $\sqrt{6} - 2,5$ отрицательна.
По определению модуля: $|\sqrt{6} - 2,5| = -(\sqrt{6} - 2,5) = -\sqrt{6} + 2,5 = 2,5 - \sqrt{6}$.
Ответ: $2,5 - \sqrt{6}$.