Номер 4.18, страница 34, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

4.18. На числовой прямой отмечены точки $A(2a - 6a^2)$ и $B(2a - 3)$.

При каких значениях $a$ точка $C$ лежит между $A$ и $B$, если:

a) $C(2)$;

б) $C(-1)$?

Точка C с координатой $x_C$ лежит между точками A с координатой $x_A = 2a - 6a^2$ и B с координатой $x_B = 2a - 3$ тогда и только тогда, когда координата точки C находится строго между координатами точек A и B. Это условие можно записать в виде неравенства: $(x_C - x_A)(x_C - x_B) < 0$. Рассмотрим каждый случай отдельно.

а) C(2)

В этом случае координата точки C равна 2, то есть $x_C = 2$. Подставим значения координат $x_A$, $x_B$ и $x_C$ в основное неравенство: $(2 - (2a - 6a^2))(2 - (2a - 3)) < 0$

Упростим выражение в каждой скобке: $(2 - 2a + 6a^2)(2 - 2a + 3) < 0$ $(6a^2 - 2a + 2)(5 - 2a) < 0$

Рассмотрим первый множитель: квадратный трехчлен $6a^2 - 2a + 2$. Найдем его дискриминант $D$: $D = (-2)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 2 = 4 - 48 = -44$

Поскольку дискриминант отрицательный ($D < 0$), а старший коэффициент положителен ($6 > 0$), квадратный трехчлен $6a^2 - 2a + 2$ принимает только положительные значения при любых действительных значениях $a$.

Так как множитель $6a^2 - 2a + 2$ всегда больше нуля, мы можем разделить обе части неравенства на него, не меняя знака неравенства: $5 - 2a < 0$

Решим полученное линейное неравенство: $5 < 2a$ $a > \frac{5}{2}$ $a > 2.5$

Таким образом, точка C(2) лежит между A и B при $a \in (2.5, +\infty)$.

Ответ: $a \in (2.5, +\infty)$

б) C(-1)

В этом случае координата точки C равна -1, то есть $x_C = -1$. Подставим значения координат в основное неравенство: $(-1 - (2a - 6a^2))(-1 - (2a - 3)) < 0$

Упростим выражение в каждой скобке: $(-1 - 2a + 6a^2)(-1 - 2a + 3) < 0$ $(6a^2 - 2a - 1)(2 - 2a) < 0$

Вынесем 2 за скобки во втором множителе: $2(6a^2 - 2a - 1)(1 - a) < 0$ Разделим обе части на 2: $(6a^2 - 2a - 1)(1 - a) < 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Для этого найдем корни левой части. Найдем корни первого множителя $6a^2 - 2a - 1 = 0$. Дискриминант $D = (-2)^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-1) = 4 + 24 = 28$. Корни: $a = \frac{-(-2) \pm \sqrt{28}}{2 \cdot 6} = \frac{2 \pm 2\sqrt{7}}{12} = \frac{1 \pm \sqrt{7}}{6}$. Итак, $a_1 = \frac{1 - \sqrt{7}}{6}$ и $a_2 = \frac{1 + \sqrt{7}}{6}$.

Корень второго множителя $1 - a = 0$ равен $a_3 = 1$.

Отметим найденные корни на числовой прямой и определим знаки выражения $(6a^2 - 2a - 1)(1 - a)$ в каждом из получившихся интервалов. Корни в порядке возрастания: $\frac{1 - \sqrt{7}}{6}$ (приблизительно -0.27), $\frac{1 + \sqrt{7}}{6}$ (приблизительно 0.61), $1$.

• Интервал $(1, +\infty)$: возьмем $a=2$. $(6 \cdot 4 - 2 \cdot 2 - 1)(1-2) = (19)(-1) = -19 < 0$. Интервал подходит.
• Интервал $(\frac{1 + \sqrt{7}}{6}, 1)$: возьмем $a=0.8$. $(6 \cdot 0.64 - 2 \cdot 0.8 - 1)(1-0.8) = (3.84 - 1.6 - 1)(0.2) = (1.24)(0.2) > 0$. Интервал не подходит.
• Интервал $(\frac{1 - \sqrt{7}}{6}, \frac{1 + \sqrt{7}}{6})$: возьмем $a=0$. $(0 - 0 - 1)(1-0) = (-1)(1) = -1 < 0$. Интервал подходит.
• Интервал $(-\infty, \frac{1 - \sqrt{7}}{6})$: возьмем $a=-1$. $(6 \cdot 1 - 2(-1) - 1)(1 - (-1)) = (7)(2) = 14 > 0$. Интервал не подходит.

Объединяя подходящие интервалы, получаем решение неравенства.

Ответ: $a \in (\frac{1 - \sqrt{7}}{6}, \frac{1 + \sqrt{7}}{6}) \cup (1, +\infty)$