Номер 4.15, страница 34, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

4.15. Число $m$ называют точной нижней границей числового множества $X$, если для любого числа $x \in X$ справедливо неравенство $x \ge m$ и для любого числа $\varepsilon > 0$ существует такое число $x_\varepsilon \in X$, что $x_\varepsilon < m + \varepsilon$. Найдите точную нижнюю границу множества $X$, если:

а) $X = [0; 1];$

б) $X = [0; 1);$

в) $X = \left\{x \left| x = \frac{1}{n}, n \in \mathbb{N} \right.\right\};$

г) $X = \left\{x \left| x = \frac{1+5n}{n}, n \in \mathbb{N} \right.\right\}.$

Точная нижняя граница (инфимум) множества $X$, обозначаемая как $\inf X$, является наибольшей из всех нижних границ множества. Согласно определению, данному в условии, число $m$ является точной нижней границей множества $X$, если выполняются два условия:

1. $\forall x \in X: x \ge m$ (m — нижняя граница).
2. $\forall \varepsilon > 0 \ \exists x_\varepsilon \in X: x_\varepsilon < m + \varepsilon$ (не существует нижней границы, большей чем m).

Найдем точные нижние границы для каждого из предложенных множеств.

а) $X = [0; 1]$

Множество $X$ представляет собой замкнутый числовой промежуток от 0 до 1.

1. Проверим первое условие для $m = 0$. Для любого элемента $x \in [0; 1]$ по определению промежутка справедливо неравенство $x \ge 0$. Следовательно, $m = 0$ является нижней границей множества $X$.

2. Проверим второе условие. Для любого $\varepsilon > 0$ нам нужно найти такой элемент $x_\varepsilon \in [0; 1]$, что $x_\varepsilon < 0 + \varepsilon$, то есть $x_\varepsilon < \varepsilon$. Поскольку $0 \in X$, мы можем взять $x_\varepsilon = 0$. Тогда $0 < \varepsilon$ для любого $\varepsilon > 0$. Условие выполняется.

Оба условия выполнены, значит, точная нижняя граница множества $X = [0; 1]$ равна 0. В данном случае инфимум является минимальным элементом множества, так как $0 \in X$.

Ответ: $\inf X = 0$.

б) $X = [0; 1)$

Множество $X$ представляет собой полуинтервал от 0 до 1, включая 0.

1. Проверим первое условие для $m = 0$. Для любого элемента $x \in [0; 1)$ по определению полуинтервала справедливо неравенство $x \ge 0$. Следовательно, $m = 0$ является нижней границей множества $X$.

2. Проверим второе условие. Как и в предыдущем пункте, для любого $\varepsilon > 0$ нам нужно найти $x_\varepsilon \in [0; 1)$ такой, что $x_\varepsilon < 0 + \varepsilon$. Мы можем выбрать $x_\varepsilon = 0$, так как $0 \in X$. Неравенство $0 < \varepsilon$ истинно для любого $\varepsilon > 0$.

Оба условия выполнены. Точная нижняя граница множества $X = [0; 1)$ равна 0. Инфимум также является минимумом множества.

Ответ: $\inf X = 0$.

в) $X = \{x | x = \frac{1}{n}, n \in N\}$

Множество $X$ состоит из элементов $\{1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \dots \}$. Все элементы этого множества положительны. Предположим, что точная нижняя граница $m = 0$.

1. Проверим первое условие. Для любого натурального числа $n \in N$ (где $N = \{1, 2, 3, \dots\}$), $n > 0$, следовательно $x = \frac{1}{n} > 0$. Таким образом, $x \ge 0$ для всех $x \in X$. Значит, $m=0$ является нижней границей.

2. Проверим второе условие. Для любого $\varepsilon > 0$ мы должны показать, что существует элемент $x_\varepsilon \in X$ такой, что $x_\varepsilon < 0 + \varepsilon$, то есть $\frac{1}{n} < \varepsilon$. Это неравенство равносильно $n > \frac{1}{\varepsilon}$. Согласно свойству Архимеда, для любого положительного действительного числа, в данном случае $\frac{1}{\varepsilon}$, всегда найдется натуральное число $n$, которое больше него. Например, можно взять $n = \lfloor\frac{1}{\varepsilon}\rfloor + 1$. Для такого $n$ элемент $x_\varepsilon = \frac{1}{n}$ принадлежит множеству $X$ и удовлетворяет требуемому неравенству.

Оба условия выполняются, следовательно, $m=0$ — точная нижняя граница множества $X$. Заметим, что $0 \notin X$, поэтому у множества нет минимального элемента.

Ответ: $\inf X = 0$.

г) $X = \{x | x = \frac{1 + 5n}{n}, n \in N\}$

Преобразуем выражение для элементов множества: $x = \frac{1 + 5n}{n} = \frac{1}{n} + \frac{5n}{n} = \frac{1}{n} + 5$.

Множество $X$ состоит из элементов $\{6, 5\frac{1}{2}, 5\frac{1}{3}, \dots \}$. С ростом $n$ член $\frac{1}{n}$ стремится к нулю, а сами элементы множества стремятся к 5. Предположим, что точная нижняя граница $m = 5$.

1. Проверим первое условие. Для любого натурального $n \in N$, $\frac{1}{n} > 0$. Следовательно, $x = 5 + \frac{1}{n} > 5$. Таким образом, $x \ge 5$ для всех $x \in X$. Значит, $m=5$ является нижней границей.

2. Проверим второе условие. Для любого $\varepsilon > 0$ мы должны показать, что существует элемент $x_\varepsilon \in X$ такой, что $x_\varepsilon < 5 + \varepsilon$. Подставим выражение для $x_\varepsilon$: $5 + \frac{1}{n} < 5 + \varepsilon$. Это неравенство упрощается до $\frac{1}{n} < \varepsilon$, что эквивалентно $n > \frac{1}{\varepsilon}$. Как и в предыдущем пункте, по свойству Архимеда такое натуральное число $n$ всегда существует.

Оба условия выполняются, следовательно, $m=5$ — точная нижняя граница множества $X$. Так как $5 \notin X$, у множества нет минимального элемента.

Ответ: $\inf X = 5$.