Номер 4.10, страница 33, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

Часть 2. Глава 1. Действительные числа. Параграф 4. Множество действительных чисел - номер 4.10, страница 33.

Условие.

4.10. Докажите неравенство $ \frac{a}{b} \le \frac{a+n}{b+n} $, если $ 0 < a < b, n \ge 0 $.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Чтобы доказать неравенство $\frac{a}{b} \le \frac{a+n}{b+n}$, мы будем использовать равносильные преобразования.

Исходное неравенство:

$\frac{a}{b} \le \frac{a+n}{b+n}$

Согласно условиям задачи, $0 < a < b$ и $n \ge 0$. Из этого следует, что $b > 0$ и $b+n > 0$. Поскольку оба знаменателя ($b$ и $b+n$) положительны, мы можем умножить обе части неравенства на их произведение $b(b+n)$, не меняя знака неравенства:

$a(b+n) \le b(a+n)$

Теперь раскроем скобки в обеих частях:

$ab + an \le ab + bn$

Вычтем $ab$ из обеих частей неравенства:

$an \le bn$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы сравнить с нулем:

$bn - an \ge 0$

Вынесем общий множитель $n$ за скобки:

$n(b-a) \ge 0$

Проверим справедливость этого последнего неравенства на основе данных условий:

1. Нам дано, что $n \ge 0$ (неотрицательное число).

2. Нам дано, что $0 < a < b$, что означает $b > a$, и следовательно, разность $b-a > 0$ (положительное число).

Произведение неотрицательного числа ($n$) и положительного числа ($b-a$) всегда будет неотрицательным. Таким образом, неравенство $n(b-a) \ge 0$ является верным.

Поскольку мы пришли к верному неравенству с помощью равносильных преобразований (умножение на положительное число, вычитание, перенос слагаемых), исходное неравенство $\frac{a}{b} \le \frac{a+n}{b+n}$ также является верным при заданных условиях. Равенство достигается при $n=0$.

Ответ: Неравенство доказано.