Номер 4.12, страница 33, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

4.12. a) На числовой прямой отмечены точки $ -3 $ и $ 1 $. При помощи циркуля и линейки постройте точки $ 0 $ и $ 5 $.

б) На числовой прямой отмечены точки $ -\sqrt{2} $ и $ 3 $. При помощи циркуля и линейки постройте точку $ 0 $.

а)

Даны точки $A$ с координатой $-3$ и $B$ с координатой $1$ на числовой прямой. Расстояние между ними равно $1 - (-3) = 4$ единичным отрезкам.

Построение точки 0:

Точка с координатой 0 является серединой отрезка, соединяющего точки с координатами $-1$ и $1$. Сначала нам нужно построить точку с координатой $-1$. Точка $-1$ является серединой отрезка, соединяющего данные точки $-3$ и $1$.

1. Построим середину отрезка $AB$. Для этого используем циркуль и линейку для построения серединного перпендикуляра.
   • Проведем две окружности с одинаковым радиусом (например, равным длине отрезка $AB$) с центрами в точках $A(-3)$ и $B(1)$.
   • Через две точки пересечения этих окружностей проведем прямую.
   • Точка пересечения этой прямой с числовой прямой является серединой отрезка $AB$. Обозначим эту точку $M$. Ее координата равна $\frac{-3+1}{2} = -1$.
2. Теперь у нас есть отрезок $MB$ с концами в точках $M(-1)$ и $B(1)$. Точка 0 является серединой этого отрезка.
3. Повторим процедуру построения середины для отрезка $MB$. Точка пересечения серединного перпендикуляра к отрезку $MB$ с числовой прямой и будет искомой точкой $O$ с координатой $\frac{-1+1}{2} = 0$.

Построение точки 5:

Нам нужно отложить от точки $B(1)$ вправо отрезок, равный 4 единичным отрезкам. Длина исходного отрезка $AB$ (от $-3$ до $1$) как раз равна $4$.

1. С помощью циркуля измерим расстояние между точками $A(-3)$ и $B(1)$.
2. Не меняя раствора циркуля, установим его ножку в точку $B(1)$.
3. Проведем дугу, которая пересечет числовую прямую справа от точки $B$.
4. Точка пересечения будет иметь координату $1 + 4 = 5$. Это и есть искомая точка.

Ответ: Точка 0 строится путем двукратного деления отрезка пополам: сначала отрезка [-3, 1], чтобы получить точку -1, а затем отрезка [-1, 1]. Точка 5 строится путем откладывания от точки 1 отрезка, равного по длине расстоянию между точками -3 и 1.

б)

Даны точки $A$ с координатой $-\sqrt{2}$ и $B$ с координатой $3$. Требуется построить точку $O$ с координатой $0$.

Точка $O(0)$ делит отрезок $AB$ в отношении длин $|AO|:|OB| = |0 - (-\sqrt{2})|:|3-0| = \sqrt{2}:3$. Для построения такой точки воспользуемся обобщенной теоремой Фалеса (о пропорциональных отрезках).

1. Из точки $A(-\sqrt{2})$ проведем произвольный луч, не лежащий на числовой прямой.
2. Выберем произвольный единичный отрезок $u$ (зафиксируем любой удобный раствор циркуля).
3. На построенном луче от точки $A$ необходимо отложить последовательно отрезки, длины которых пропорциональны числам $\sqrt{2}$ и $3$. Отложим отрезки длиной $u\sqrt{2}$ и $3u$.
4. Для построения отрезка длиной $u\sqrt{2}$:
   • На луче от точки $A$ отложим отрезок $AU$ длиной $u$.
   • В точке $U$ восстановим перпендикуляр к лучу.
   • На этом перпендикуляре отложим отрезок $UV$ длиной $u$.
   • По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике $AUV$ гипотенуза $AV$ будет иметь длину $\sqrt{u^2 + u^2} = u\sqrt{2}$.
   • С помощью циркуля перенесем длину отрезка $AV$ на наш луч, отложив от точки $A$. Получим точку $P$ на луче такую, что $AP = u\sqrt{2}$.
5. Далее от точки $P$ на том же луче отложим отрезок длиной $3u$. Для этого трижды последовательно отложим единичный отрезок $u$. Получим точку $Q$ такую, что $PQ = 3u$.
6. Соединим точку $Q$ на луче с точкой $B(3)$ на числовой прямой. Получим отрезок $QB$.
7. Через точку $P$ на луче проведем прямую, параллельную отрезку $QB$. (Это стандартное построение, например, методом копирования угла $\angle AQB$ в вершине $P$).
8. Точка пересечения этой прямой с исходным отрезком $AB$ и будет искомой точкой $O$.

Обоснование: По теореме о пропорциональных отрезках, прямая, проходящая через $P$ и параллельная $QB$, делит отрезок $AB$ в том же отношении, в каком точка $P$ делит отрезок $AQ$. То есть, $\frac{|AO|}{|OB|} = \frac{|AP|}{|PQ|} = \frac{u\sqrt{2}}{3u} = \frac{\sqrt{2}}{3}$.Если координата построенной точки $x$, то $|x-(-\sqrt{2})|:|3-x|=\sqrt{2}:3$. Так как точка лежит между $-\sqrt{2}$ и $3$, то $\frac{x+\sqrt{2}}{3-x}=\frac{\sqrt{2}}{3}$. Решая это уравнение, получаем $3(x+\sqrt{2}) = \sqrt{2}(3-x)$, откуда $3x+3\sqrt{2} = 3\sqrt{2} - \sqrt{2}x$, что приводит к $(3+\sqrt{2})x=0$. Следовательно, $x=0$. Построение верное.

Ответ: Точка 0 строится как точка, делящая отрезок $[-\sqrt{2}, 3]$ в отношении $\sqrt{2}:3$, с помощью построения на вспомогательном луче отрезков, пропорциональных $\sqrt{2}$ и $3$, и применения теоремы о пропорциональных отрезках.