Номер 4.11, страница 33, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

4.11. На числовой прямой отмечены точки 0 и 1. При помощи циркуля и линейки постройте точки:

а) $1,4$;

б) $\sqrt{2}$;

в) $-\sqrt{10}$;

г) $\sqrt{2} - \sqrt{3}$.

а) 1,4

Для построения точки 1,4, представим это число в виде обыкновенной дроби: $1,4 = \frac{14}{10} = \frac{7}{5}$. Построение будет основано на теореме Фалеса о пропорциональных отрезках.

1. Обозначим данную числовую прямую как $l$, а точки 0 и 1 как O и A соответственно. Таким образом, отрезок OA задает единичную длину.
2. Проведем из точки O луч $m$, не совпадающий с прямой $l$.
3. С помощью циркуля отложим на луче $m$ от точки O последовательно пять равных отрезков произвольной длины, получив точку B. Длина отрезка OB будет соответствовать 5 условным единицам.
4. Продолжая откладывать отрезки той же длины, отложим на луче $m$ от точки O семь таких же отрезков, получив точку C. Длина отрезка OC будет соответствовать 7 условным единицам.
5. Соединим точку B на луче $m$ с точкой A(1) на прямой $l$.
6. Через точку C на луче $m$ проведем прямую, параллельную отрезку BA. Эта прямая пересечет числовую прямую $l$ в некоторой точке X.
7. Согласно обобщенной теореме Фалеса, отрезки, отсекаемые параллельными прямыми на сторонах угла, пропорциональны: $\frac{OX}{OA} = \frac{OC}{OB}$. Подставляя известные значения, получаем: $\frac{OX}{1} = \frac{7}{5}$. Следовательно, длина отрезка OX равна $\frac{7}{5} = 1,4$.

Ответ: Точка X, построенная указанным способом, является искомой точкой 1,4 на числовой прямой.

б) $\sqrt{2}$

Для построения точки $\sqrt{2}$ воспользуемся теоремой Пифагора. Длина $\sqrt{2}$ является длиной гипотенузы прямоугольного треугольника с катетами, равными 1.

1. На числовой прямой $l$ у нас есть точки O(0) и A(1). Отрезок OA имеет длину 1.
2. В точке A(1) восставим перпендикуляр к прямой $l$.
3. На этом перпендикуляре отложим от точки A отрезок AB, равный по длине единичному отрезку OA. Для этого установим раствор циркуля равным OA, поместим острие в точку A и сделаем засечку на перпендикуляре, получив точку B. Таким образом, $AB = 1$.
4. Рассмотрим прямоугольный треугольник OAB с прямым углом A. Его катеты OA и AB равны 1.
5. По теореме Пифагора, длина гипотенузы OB равна $\sqrt{OA^2 + AB^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.
6. Чтобы отметить точку $\sqrt{2}$ на числовой прямой, установим раствор циркуля равным длине отрезка OB, поместим острие циркуля в точку O(0) и проведем дугу до пересечения с положительной частью прямой $l$. Точка пересечения C и будет искомой точкой $\sqrt{2}$.

Ответ: Точка C, полученная как пересечение дуги окружности радиусом OB с центром в O и числовой прямой, является искомой точкой $\sqrt{2}$.

в) $-\sqrt{10}$

Сначала построим отрезок длиной $\sqrt{10}$, а затем отложим его от точки 0 в отрицательном направлении. Для построения длины $\sqrt{10}$ снова используем теорему Пифагора, заметив, что $10 = 3^2 + 1^2$.

1. На числовой прямой $l$ от точки O(0) отложим три раза единичный отрезок OA в положительном направлении. Получим точку B с координатой 3. Длина отрезка OB равна 3.
2. В точке B(3) восставим перпендикуляр к прямой $l$.
3. На этом перпендикуляре отложим от точки B отрезок BC, равный по длине единичному отрезку OA. Таким образом, $BC = 1$.
4. Рассмотрим прямоугольный треугольник OBC с прямым углом B. Его катеты OB и BC равны 3 и 1 соответственно.
5. По теореме Пифагора, длина гипотенузы OC равна $\sqrt{OB^2 + BC^2} = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10}$.
6. Теперь у нас есть отрезок OC длиной $\sqrt{10}$. Чтобы построить точку $-\sqrt{10}$, установим раствор циркуля равным длине отрезка OC, поместим острие в точку O(0) и проведем дугу до пересечения с отрицательной частью прямой $l$. Точка пересечения D и будет искомой точкой $-\sqrt{10}$.

Ответ: Точка D, полученная как пересечение дуги окружности радиусом OC с центром в O и отрицательной полуосью, является искомой точкой $-\sqrt{10}$.

г) $\sqrt{2} - \sqrt{3}$

Для построения этой точки необходимо сначала построить отрезки длиной $\sqrt{2}$ и $\sqrt{3}$, а затем выполнить их вычитание на числовой прямой. Так как $\sqrt{3} > \sqrt{2}$, результат будет отрицательным числом.

1. Построение длины $\sqrt{2}$. Как и в пункте б), строим прямоугольный треугольник с катетами 1 и 1. Гипотенуза этого треугольника будет иметь длину $\sqrt{2}$. Обозначим эту длину как $L_{\sqrt{2}}$.
2. Построение длины $\sqrt{3}$. Для построения длины $\sqrt{3}$ воспользуемся теоремой Пифагора, заметив, что $3 = (\sqrt{2})^2 + 1^2$.
   • На числовой прямой отложим от точки O(0) отрезок длиной $\sqrt{2}$, получив точку P. Для этого можно использовать длину $L_{\sqrt{2}}$, найденную на предыдущем шаге.
   • В точке P восставим перпендикуляр к числовой прямой.
   • На этом перпендикуляре отложим от точки P единичный отрезок PQ.
   • В прямоугольном треугольнике OPQ гипотенуза OQ будет иметь длину $\sqrt{OP^2 + PQ^2} = \sqrt{(\sqrt{2})^2 + 1^2} = \sqrt{2+1} = \sqrt{3}$. Обозначим эту длину как $L_{\sqrt{3}}$.
3. Построение точки $\sqrt{2} - \sqrt{3}$.
   • С помощью циркуля отложим на числовой прямой от точки O(0) в положительном направлении отрезок, равный $L_{\sqrt{2}}$. Получим точку P с координатой $\sqrt{2}$.
   • Теперь из точки P нужно вычесть длину $L_{\sqrt{3}}$. Для этого установим раствор циркуля равным $L_{\sqrt{3}}$, поместим острие в точку P и проведем дугу, пересекающую числовую прямую в направлении точки O (т.е. в отрицательном направлении).
   • Точка пересечения Q и будет искомой точкой. Ее координата равна координате точки P минус длина $L_{\sqrt{3}}$, то есть $\sqrt{2} - \sqrt{3}$.

Ответ: Точка Q, полученная путем откладывания от точки $\sqrt{2}$ отрезка длиной $\sqrt{3}$ в отрицательном направлении, является искомой точкой $\sqrt{2} - \sqrt{3}$.